双曲的群の無限遠境界作用の作用素環論的研究

• Project/Area Number: 16740093
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Global analysis
• Research Institution: Osaka Kyoiku University
• Principal Investigator: 岡安 類 大阪教育大学, 教育学部, 助教授 (70362746)
• Project Period (FY): 2004 – 2006
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2006)
• Budget Amount: ¥3,300,000 (Direct Cost: ¥3,300,000); Fiscal Year 2006: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2005: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2004: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,300,000)
• Keywords: 双曲的群 / 無限遠境界 / ポアソン境界 / 調和測度 / 軌道同型 / フォンノイマン環 / 比集合 / 接合積 / 摂動理論 / 自由群 / 境界作用 / エントロピー / 群グラフ

Research Abstract

今年度は主に双曲的群の無限遠境界上の調和測度の軌道同型についての引き続き研究を行った。これは、京都大学の泉正己氏とオスロ大学のSrgey Neshveyev氏との共同による。以前、我々は双曲的群の調和測度の軌道同型の比集合について調べていたが、今回、完全に計算することに成功した。これにより、軌道同型には決してIII_0タイプは現れないことがわかる。これは自由群及びそれを含む特殊な融合積の形で表される離散群に関する私の以前の結果の拡張にもなっている。これにより双曲的群の無限遠境界作用を軌道同型の意味で完全に分類したことになる。すなわち、以前より知られた結果により、この作用はエルゴード的かつ従順であり、III_0タイプ以外は唯一つに定まるからである。また双曲的群にねじれがなければ、対応するフォンノイマン環接合積についても完全に分類ができたことになるので、私の研究課題である双曲的群の無限遠境界作用の作用素環論的研究のフォンノイマン環サイドの分類は決着したことになる。これらの結果は京都大学数理解析研究所の研究集会「離散群論と作用素環」において研究報告を行った。この我々の研究結果は、Israel Journal of Mathematicsに掲載が決まっている。
またVoiculescuの摂動理論に関連した不変量についての研究も引き続き行う。この不変量はヒルベルト空間上の有界線形作用素の組に対する不変量であり、摂動理論において重要な役割を果たしている。更に、Voiculescuはこの不変量を用いて、フォンノイマン環の群作用に関するエントロピーも定義している。このエントロピーのメリットはひとつの自己同型写像に対するだけではなく、有限生成群の生成系に対して定義できることである。しかし、計算の困難さから具体的な計算例がまったくなかったが、今回、私は自由群のポアソン境界作用に関するエントロピーの計算に成功した。

Research Products

• [Journal Article] Gromov hyperbolic groups and the Maacev norm (2006)
  • Author(s): Rui Okayasu
  • Journal Title: Pacific Journal of Mathematics 223 no. 1 Pages: 141-158
• [Journal Article] Perturbation theoretic entropy of the boundary actions of free groups (2006)
  • Author(s): Rui Okayasu
  • Journal Title: Proceedings of the American Mathematical Society 134 no. 6 Pages: 1771-1776
• [Journal Article] Gromov hyperbolic groups and the Maacev norm (2006)
  • Author(s): Rui Okayasu
  • Journal Title: Pacific Journal of Mathematics 223 no.1 Pages: 141-158
• [Journal Article] Perturbation theoretic entropy of the boundary actions of free groups (2006)
  • Author(s): Rui Okayasu
  • Journal Title: Proceedings of the American Mathematical Society 134 no.6 Pages: 1771-1776
• [Journal Article] C*-algebras of associated with the fundamental groups of graphs of groups (2005)
  • Author(s): Rui Okayasu
  • Journal Title: Mathematica Scandinavica 97 no.1 Pages: 49-72
• [Journal Article] The ratio set of the harmonic measure of a random walk on a hyperbolic group
  • Author(s): Rui Okayasu
  • Journal Title: Israel Journal of Mathematics (未定)
• [Journal Article] C*-algebras of associated with the fundamental groups of graphs of groups
  • Author(s): Rui Okayasu
  • Journal Title: MATHEMATICA SCANDINAVICA
• [Journal Article] Perturbation theoretic entropy of the boundary actions of free groups
  • Author(s): Rui Okayasu
  • Journal Title: Proceedings of the American Mathematical Society