アフィン演算を用いた非線形常微分方程式の精度保証付き数値計算

• Project/Area Number: 16760058
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Engineering fundamentals
• Research Institution: Kanazawa Institute of Technology
• Principal Investigator: 宮田 孝富 金沢工業大学, 工学部, 講師 (30329114)
• Project Period (FY): 2004 – 2006
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2006)
• Budget Amount: ¥2,900,000 (Direct Cost: ¥2,900,000); Fiscal Year 2006: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000); Fiscal Year 2005: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000); Fiscal Year 2004: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
• Keywords: 精度保証付き数値計算 / 区間演算 / アフィン演算 / 常微分方程式 / 初期値問題 / wrapping effect / 精度保証付き数直計算 / Affine Arithmetic

Research Abstract

常微分方程式の初期値問題の長時間積分問題について検討した.
初期値問題の精度保証付き解法においては,一般に真の解曲線の包含(チューブ)を求めることを目的とする.そして,初期点から遠く離れた場所にいたるまで解曲線をシャープに包み込み続けることを目的とする(初期値問題における長時間積分問題).しかし,このことは最悪値を保証するという区間演算の性質上,実現が困難な問題でもある.R.J.Lohnerは,初期値問題の長時間積分を効果的に実現するうえで,Wrapping Effectが大きな阻害要因となることを指摘し,実際にWrapping Effectの影響を軽減する工夫を凝らしてみせた.しかし,他に多く提案されてきた手法も含めて,これらはいずれもWrapping Effectの影響を完全に排除したものではなかった.現在に至るまで,Wrapping Effectの影響を完全に排した初期値問題の長時間積分は実現されていないと言ってよい.そこで研究代表者は,Wrapping Effectが起きない特殊な区間演算方式であるアフィン演算(Affine Arithmetic, AA)を本問題に適用することで,本問題を解決することを狙った.実際にアフィン演算を適用してみて計算ステップの増大に伴うアフィン形式の項数の増大が大きな問題となり,項数を抑制する方法について検討した.ただし,項数抑制の具体的なタイミングについての指針とその実装方法を示す前に研究期間を終了した.