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準線形偏微分方程式の理論とその応用

Research Project

Project/Area Number 16J01494
Research Category

Grant-in-Aid for JSPS Fellows

Allocation TypeSingle-year Grants
Section国内
Research Field Mathematical analysis
Research InstitutionTohoku University

Principal Investigator

小杉 卓裕  東北大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)

Project Period (FY) 2016-04-22 – 2018-03-31
Project Status Completed (Fiscal Year 2017)
Budget Amount *help
¥1,700,000 (Direct Cost: ¥1,700,000)
Fiscal Year 2017: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
Fiscal Year 2016: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
Keywords粘性解 / 完全非線形方程式 / 準線形方程式 / 自由境界問題 / p-ラプラス作用素 / 最大値原理 / 弱ハルナック不等式
Outline of Annual Research Achievements

劣線形増大度及び優線形増大度の両方をもつ完全非線形楕円型方程式に対する強解の存在性,ABP最大値原理及び弱ハルナック不等式が成り立つことを示した.p-ラプラシアンのpの値が変数に依存しているp(x)-ラプラシアンをもつ方程式は一階微分で方程式全体を割ると劣線形増大度が現れ,さらに勾配の大きさによって劣線形増大あるいは優線形増大で評価できる項が現れるため,非斉次p(x)-ラプラス方程式に対する弱ハルナック不等式や解のヘルダー連続性,より高い正則性を導く際に応用可能性がある.
pが2より小さい時のp-ラプラス方程式に代表されるような勾配が0で特異性をもつ偏微分方程式を扱う場合,Crandall-Lionsで導入された粘性解は適切でない.p-ラプラスタイプの完全非線形方程式の粘性解の正則性を扱っている先行研究のいくつかでは粘性解の定義として,定数であるときに主要部が消えた方程式をみたすとしたものを採用している.一方,放物型方程式の場合ではテスト函数のクラスを制限した粘性解を採用しており,楕円型でも同様の定義を考えるのは自然である.この二つの意味の粘性解の同値性を示した.これにより特異楕円型方程式の粘性解の基本理論に使われる可能性がある.
異方性があるアイコナル方程式の粘性劣解であることとその異方性に対応した局所リプシッツ連続函数であることの同値性を得た.勾配拘束問題と障害物問題の同値性の証明では勾配拘束条件から決まる解のリプシッツ評価を得ることが一つの鍵となっており,これにより位置に依存した勾配拘束条件をもつ勾配拘束問題とそれから決まる勾配拘束問題の同値性を得られる可能性がある.
グラフの平均曲率流方程式に対する障害物問題の処罰法に依る近似解が元の方程式に収束する際の収束率を,Evansが2010年に導入した非線形随伴法を用いて求めた.

Research Progress Status

29年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

29年度が最終年度であるため、記入しない。

Report

(2 results)
  • 2017 Annual Research Report
  • 2016 Annual Research Report
  • Research Products

    (11 results)

All 2018 2017 2016

All Journal Article (2 results) (of which Peer Reviewed: 2 results,  Open Access: 1 results) Presentation (9 results) (of which Int'l Joint Research: 3 results,  Invited: 2 results)

  • [Journal Article] On the rate of convergence of solutions in free boundary problems via penalization2018

    • Author(s)
      Koike Shigeaki、Kosugi Takahiro、Naito Makoto
    • Journal Title

      J. Math. Anal.

      Volume: 457 Issue: 1 Pages: 436-460

    • DOI

      10.1016/j.jmaa.2017.07.074

    • Related Report
      2017 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Maximum principle for Pucci equations with sublinear growth in Du and its applications2017

    • Author(s)
      S. Koike and T. Kosugi
    • Journal Title

      Nonlinear Analysis

      Volume: 印刷中 Pages: 1-15

    • DOI

      10.1016/j.na.2017.03.018

    • Related Report
      2017 Annual Research Report 2016 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Equivalence between obstacle problems and gradient constraint problems2018

    • Author(s)
      小杉卓裕
    • Organizer
      第1回福島数理解析セミナー
    • Related Report
      2017 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Rate of convergence of approximate solutions for obstacle problems2017

    • Author(s)
      T. Kosugi
    • Organizer
      Viscosity solution approach to asymptotic problems in front propagation, dynamical system and related topics
    • Related Report
      2017 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Equivalence of viscosity solutions between obstacle problems and gradient constraint problems2017

    • Author(s)
      小杉卓裕
    • Organizer
      日本数学会2017年度秋季総合分科会
    • Related Report
      2017 Annual Research Report
  • [Presentation] Maximum principle for Pucci equations with sublinear gradient terms and its applications2017

    • Author(s)
      T. Kosugi
    • Organizer
      5th Italian-Japanese Workshop on Geometric Properties for Parabolic and Elliptic PDE's
    • Related Report
      2017 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Equivalence between viscosity solutions of an obstacle problem and a gradient constraint problem2017

    • Author(s)
      T. Kosugi
    • Organizer
      The 18th Northeastern Symposium on Mathematical Analysis
    • Place of Presentation
      東北大学
    • Related Report
      2016 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Existence of strong solutions of some fully nonlinear elliptic equations and its applications2017

    • Author(s)
      小杉卓裕
    • Organizer
      若手のための偏微分方程式と数学解析
    • Place of Presentation
      福岡大学セミナーハウス
    • Related Report
      2016 Annual Research Report
  • [Presentation] 劣線型増大度の低階項をもつプッチ方程式に対する最大値原理2017

    • Author(s)
      小杉卓裕
    • Organizer
      東北大学応用数学セミナー
    • Place of Presentation
      東北大学
    • Related Report
      2016 Annual Research Report
  • [Presentation] Fully nonlinear elliptic equations with sublinear growth in $Du$2016

    • Author(s)
      小池茂昭,小杉卓裕
    • Organizer
      2016年度秋季総合分科会
    • Place of Presentation
      関西大学
    • Related Report
      2016 Annual Research Report
  • [Presentation] 一階微分に関して劣線型増大度をもつ完全非線型楕円型方程式について2016

    • Author(s)
      小杉卓裕
    • Organizer
      第38回発展方程式若手セミナー
    • Place of Presentation
      あうる京都
    • Related Report
      2016 Annual Research Report

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Published: 2016-05-17   Modified: 2024-03-26  

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