Ｈｅｓｓｅｎｂｅｒｇ多様体の幾何に現れる表現論と可積分系

• Project/Area Number: 16J04761
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Osaka Prefecture University (2018); Osaka City University (2016-2017)
• Principal Investigator: 阿部 拓 大阪府立大学, 高等教育推進機構, 教育拠点形成教員
• Project Period (FY): 2016-04-22 – 2019-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2018)
• Budget Amount: ¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000); Fiscal Year 2018: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000); Fiscal Year 2017: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000); Fiscal Year 2016: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
• Keywords: Hessenberg多様体 / ファノ多様体 / 弱ファノ多様体 / 局所完全交差 / 構造層 / コホモロジー / 平坦退化 / コホモロジー環 / 体積多項式 / Newton-Okounkov体

Outline of Annual Research Achievements

平成30年度は，Hessenberg多様体の代数幾何学的な性質について，華中科技大学の曽昊智氏と東京工業大学の藤田直樹氏と共同研究を行った．Regular semisimple Hessenberg多様体は滑らかな代数多様体であり，特別な場合として旗多様体や，ルート系に付随するトーリック多様体を実現するものである．旗多様体はファノ多様体であり，ルート系に付随するトーリック多様体は（ファノ多様体ではないが）弱ファノ多様体である．そこで，regular semisimple Hessenberg多様体がいつ弱ファノ多様体であるかという問題が自然に生じる．一般に，滑らかな代数多様体が弱ファノであるとは，その反標準因子がnefかつbigであることをいう．
Hessenberg関数hから定まるregular semisimple Hessenberg多様体をX(h)と書くとき，X(h)の反標準因子がnefであるための必要十分条件はHessenberg関数hの言葉で明示的に表すことができる．反標準因子がbigであることを判定するのは一般に容易ではないが，我々は次の結果を得た．すなわち，hが狭義単調増加の場合，X(h)の反標準因子がnefならばそれはnefかつbigである（すなわちX(h)は弱ファノ多様体である）．狭義単調増加なHessenberg関数は，X(h)が旗多様体やルート系に付随するトーリック多様体になる場合を含むので，この結果は上述の事実を一般化するものである．弱ファノ多様体については，その上の豊富な直線束の高次コホモロジーが消滅しており，X(h)の幾何に様々な応用が期待される．
我々は，この主張はhが狭義単調増加でなくても成り立つと予想しており，今後の課題としてより一般のケースの証明に挑んでいきたい．

Research Progress Status

平成30年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

平成30年度が最終年度であるため、記入しない。

Research Products

• [Int'l Joint Research] 華中科技大学(中国)
• [Int'l Joint Research] 復旦大学(中国)
• [Int'l Joint Research] McMaster University(Canada)
• [Int'l Joint Research] University of Toronto(Canada)
• [Journal Article] THE COHOMOLOGY RINGS OF REGULAR SEMISIMPLE HESSENBERG VARIETIES FOR h = (h(1),n,...,n) (2019)
  • Author(s): H. Abe, T. Horiguchi, M. Masuda
  • Journal Title: J. Comb. Volume: 17 Issue: 01 Pages: 1-24
  • DOI: 10.4310/joc.2019.v10.n1.a2
  • URL: https://ocu-omu.repo.nii.ac.jp/records/2016856
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] GEOMETRY OF HESSENBERG VARIETIES WITH APPLICATIONS TO NEWTON-OKOUNKOV BODIES (2018)
  • Author(s): Hiraku Abe, Lauren DeDieu, Federico Galetto, Megumi Harada
  • Journal Title: Selecta Math. (N.S.). Volume: 17 Issue: 08 Pages: 1-33
  • DOI: 10.1007/s00029-018-0405-3
  • URL: https://ocu-omu.repo.nii.ac.jp/records/2016862
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Hessenberg varieties for the minimal nilpotent orbit (2017)
  • Author(s): Hiraku Abe and Peter Crooks
  • Journal Title: Pure Appl. Math. Q. Volume: 印刷中
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] The torus equivariant cohomology rings of Springer varieties (2016)
  • Author(s): Hiraku Abe and Tatsuya Horiguchi
  • Journal Title: Topology Appl. Volume: 208 Pages: 143-159
  • Peer Reviewed
• [Presentation] On weak Fano Hessenberg varieties (2019)
  • Author(s): 阿部拓
  • Organizer: 第 6 回 代数幾何学研究集会 ‐ 宇 部
  • Invited
• [Presentation] On weak Fano Hessenberg varieties (2019)
  • Author(s): Hiraku Abe
  • Organizer: Branched Coverings, Degenerations, and Related Topics 2019
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Topics in recent developments on Hessenberg varieties (2018)
  • Author(s): Hiraku Abe
  • Organizer: Combinatorial Algebraic Geometry Retrospective Workshop
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 正則ヘッセンバーグ多様体の幾何学 (2018)
  • Author(s): 阿部拓
  • Organizer: 半田山・幾何・代数セミナー
  • Invited
• [Presentation] 正則なヘッセンバーグ多様体の幾何学について (2017)
  • Author(s): 阿部拓
  • Organizer: 第44回変換群論シンポジウム
• [Presentation] Volumes of Newton-Okounkov bodies of Hessenberg varieties and their cohomology rings (2017)
  • Author(s): Hiraku Abe
  • Organizer: SIAM AG meeting in Atlanta
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 正則冪零ヘッセンバーグ多様体の射影埋め込みとコホモロジー環の関係 (2017)
  • Author(s): 阿部拓
  • Organizer: 変換群を核とする代数的位相幾何学
• [Presentation] On geometry of regular nilpotent Hessenberg varieties (2017)
  • Author(s): 阿部拓
  • Organizer: 第15回 代数曲面ワークショップ at 秋葉原
  • Invited
• [Presentation] Flat families of Hessenberg varieties with an application to Newton- Okounkov bodies (2017)
  • Author(s): Hiraku Abe
  • Organizer: Geometry and Topology seminar
  • Place of Presentation: The University of Western Ontario (Canada)
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Flat families of Hessenberg varieties with an application to Newton- Okounkov bodies (2017)
  • Author(s): Hiraku Abe
  • Organizer: AMS special session on combinatorial and cohomological invariants of flag manifolds and related varieties
  • Place of Presentation: Atlanta (United States of America)
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Flat families of Hessenberg varieties with an application to Newton- Okounkov bodies (2016)
  • Author(s): Hiraku Abe
  • Organizer: Algebra/Combinatorics/Geometry research seminar
  • Place of Presentation: Smith College (United States of America)
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] A Weyl character formula for Hessenberg varieties (2016)
  • Author(s): Hiraku Abe
  • Organizer: CMS Session on Combinatorial Algebraic Geometry
  • Place of Presentation: Niagara falls (Canada)
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] On flat degenerations of regular semisimple Hessenberg varieties (2016)
  • Author(s): Hiraku Abe
  • Organizer: Mini-Workshop on Toric Topology in Okayama
  • Place of Presentation: 岡山理科大学（岡山県岡山市北区理大町）
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] On the flatness of certain families of Hessenberg varieties (2016)
  • Author(s): Hiraku Abe
  • Organizer: Toric Topology 2016 in Kagoshima
  • Place of Presentation: 鹿児島大学（鹿児島県鹿児島市郡元）
  • Int'l Joint Research