Plane partitions from the viewpoint of biorthogonal polynomials

• Project/Area Number: 16K05058
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: Kamioka Shuhei 京都大学, 情報学研究科, 助教 (70543297)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2019-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2018)
• Budget Amount: ¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000); Fiscal Year 2018: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000); Fiscal Year 2017: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000); Fiscal Year 2016: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
• Keywords: 平面分割 / 直交多項式 / 数え上げ組合せ論 / 可積分系 / 代数的組合せ論

Outline of Final Research Achievements

A plane partition is a two-dimensional array of non-negative integers which weakly decrease along each row and column. In this study a method is formulated to find nice (product) formulas for (reverse) plane partitions from biorthogonal polynomials and from solutions to the discrete two-dimensional (2D) Toda lattice, that is a dynamical system associated with biorthogonal polynomials. New nice formulas which generalizes some of the existing generating functions for (reverse) plane partitions, such as MacMahon's generating function and the trace generating function, are derived from a specific family of biorthogonal polynomials and from a specific solution to the discrete 2D Toda lattice.

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

組合せ論的オブジェクトである平面分割は，それ自身に対する研究のみならず，数学の他分野に関連付けられたり物理学などの他領域に応用されたりしている．その背景には積型のよい母関数の数学的な扱いやすさがある．平面分割のよい母関数の存在は応用も含めて重要であるが，よい母関数を系統的に見つけるための処方箋はこれまでなかった．本研究の意義は，双直交多項式などの他分野の道具をうまく用いることで，平面分割のよい母関数を系統的に構成するための手続きを作り出した点にある．本研究で生み出した新しい母関数は，平面分割への理解を深めるだけでなく将来的に他分野への応用にも繋がると期待される．

Research Products

• [Journal Article] 平面分割の積公式と離散二次元戸田分子 (2018)
  • Author(s): 上岡修平
  • Journal Title: 京都大学数理解析研究所講究録 Volume: 2071 Pages: 165-179
• [Journal Article] 対称平面分割の母関数のパフィアン表示 (2018)
  • Author(s): 上岡修平
  • Journal Title: 九州大学応用力学研究所研究集会報告 Volume: 印刷中
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Multiplicative partition functions for reverse plane partitions derived from an integrable dynamical system (2017)
  • Author(s): Shuhei Kamioka
  • Journal Title: Sem. Lothar. Combin. Volume: 78B
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] A triple product formula for plane partitions derived from biorthogonal polynomials (2016)
  • Author(s): Shuhei Kamioka
  • Journal Title: DMTCS proc. Volume: BC, 2016 Pages: 671-682
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Presentation] 差分方程式によるアステカダイヤモンド定理の証明 (2019)
  • Author(s): 上岡修平
  • Organizer: 日本数学会2019年度年会
• [Presentation] A nice partition function for reverse plane partitions derived from a discrete integrable system (2018)
  • Author(s): Shuhei Kamioka
  • Organizer: The Japanese Conference on Combinatorics and its Applications (JCCA) 2018
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] シュレーダー数の行列式とその数え上げ組合せ論への応用 (2018)
  • Author(s): 上岡修平
  • Organizer: 津田塾大学談話会
  • Invited
• [Presentation] シュレーダー行列式の満たすある公式の組合せ論的証明 (2018)
  • Author(s): 上岡修平
  • Organizer: 組合せ論サマースクール2018
• [Presentation] The discrete two-dimensional Toda equation gives nice formulae for reverse plane partitions (2018)
  • Author(s): Shuhei Kamioka
  • Organizer: Symmetries and Integrability of Difference Equations (SIDE) 13
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] Nice formulas for plane partitions from an integrable system (2018)
  • Author(s): Shuhei Kamioka
  • Organizer: Algebraic and Enumerative Combinatorics in Okayama
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 対称平面分割の母関数の精密化 (2018)
  • Author(s): 上岡修平
  • Organizer: 日本数学会2018年度年会
• [Presentation] Plane partitions and the discrete 2D Toda molecule (2017)
  • Author(s): Shuhei Kamioka
  • Organizer: The 10th IMACS International Conference on Nonlinear Evolution Equations and Wave Phenomena: Computation and Theory
  • Place of Presentation: University of Georgia, Athens, GA, USA
  • Year and Date: 2017-03-30
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] 対称平面分割に対する積型の分配関数 (2017)
  • Author(s): 上岡修平，森居数広
  • Organizer: 日本数学会2017年度年会
  • Place of Presentation: 首都大学東京南大沢キャンパス（東京都八王子市）
  • Year and Date: 2017-03-25
• [Presentation] パフィアン表示を持つ対称な平面分割の分配関数 (2017)
  • Author(s): 上岡修平，森居数広
  • Organizer: 日本応用数理学会第13回研究部会連合発表会
  • Place of Presentation: 電気通信大学（東京都調布市）
  • Year and Date: 2017-03-06
• [Presentation] 離散2次元戸田分子による平面分割の和公式の導出 (2017)
  • Author(s): 上岡修平
  • Organizer: 第1回梅田数理科学セミナー
  • Place of Presentation: 関西学院大学大阪梅田キャンパス（大阪府大阪市）
  • Year and Date: 2017-01-28
  • Invited
• [Presentation] Multiplicative partition functions for reverse plane partitions derived from an integrable dynamical system (2017)
  • Author(s): Shuhei Kamioka
  • Organizer: 29th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC)
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] 可積分系から得られる平面分割のよい分配関数 (2017)
  • Author(s): 上岡修平
  • Organizer: 第44回大阪組合せ論セミナー
  • Invited
• [Presentation] Jeu de taquinと超離散戸田方程式 (2017)
  • Author(s): 筧三郎，上岡修平，太田泰広
  • Organizer: 日本応用数理学会2017年度年会
• [Presentation] Partition functions for reverse plane partitions derived from the two-dimensional Toda molecule (2017)
  • Author(s): 上岡修平
  • Organizer: 日本数学会2017年度秋季総合分科会
  • Invited
• [Presentation] 対称な逆平面分割と離散2次元戸田分子 (2017)
  • Author(s): 上岡修平
  • Organizer: 平成29年度九州大学応用力学研究所共同利用研究集会「非線形波動研究の新潮流―理論とその応用」
• [Presentation] 超離散戸田分子の解の組合せ論的な表示 (2017)
  • Author(s): 上岡修平
  • Organizer: 第15回計算数学研究会
• [Presentation] 平面分割に関連するパフィアンについて (2016)
  • Author(s): 上岡修平，森居数広
  • Organizer: 平成28年度九州大学応用力学研究所共同利用研究集会「非線形波動研究の深化と展開」
  • Place of Presentation: 九州大学筑紫地区筑紫ホール（福岡県春日市）
  • Year and Date: 2016-11-05
• [Presentation] Plane partitions and a discrete integrable system (2016)
  • Author(s): Shuhei Kamioka
  • Organizer: International Conference for the 70th Anniversary of Korean Mathematical Society
  • Place of Presentation: Seoul National University, Seoul, Korea Republic
  • Year and Date: 2016-10-22
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 平面分割と可積分系のつながり (2016)
  • Author(s): 上岡修平
  • Organizer: 第48回大域解析セミナー（熊本大学）
  • Place of Presentation: 熊本大学（熊本県熊本市）
  • Year and Date: 2016-10-17
  • Invited
• [Presentation] 歪平面分割の積公式と離散二次元戸田分子 (2016)
  • Author(s): 上岡修平
  • Organizer: 日本数学会2016年度秋季総合分科会
  • Place of Presentation: 関西大学千里山キャンパス（大阪府吹田市）
  • Year and Date: 2016-09-15
• [Presentation] 平面分割の積公式と離散二次元戸田分子 (2016)
  • Author(s): 上岡修平
  • Organizer: RIMS研究集会「可積分系数理の現状と展望」
  • Place of Presentation: 京都大学（京都府京都市）
  • Year and Date: 2016-09-07
• [Presentation] 歪平面分割の積公式について (2016)
  • Author(s): 上岡修平
  • Organizer: 組合せ論サマースクール2016
  • Place of Presentation: 下呂市民会館（岐阜県下呂市）
  • Year and Date: 2016-08-26
• [Presentation] A triple product formula for plane partitions derived from biorthogonal polynomials (2016)
  • Author(s): Shuhei Kamioka
  • Organizer: The 28th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2016)
  • Place of Presentation: Simon Fraser University, Vancouver, BC, Canada
  • Year and Date: 2016-07-08
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] Triple product formulae for boxed plane partitions derived from orthogonal polynomials (2016)
  • Author(s): Shuhei Kamioka
  • Organizer: The Japanese Conference on Combinatorics and its Applications (JCCA 2016)
  • Place of Presentation: 京都大学（京都府京都市）
  • Year and Date: 2016-05-22
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] 平面分割の積公式 (2016)
  • Author(s): 上岡修平
  • Organizer: 応用解析研究会～可積分系から計算数学まで
  • Place of Presentation: 天満研修センター（大阪府大阪市）
  • Year and Date: 2016-05-19