Reidemeister torsionに関するJohnson理論の深化

• Project/Area Number: 16K05161
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Soka University
• Principal Investigator: 北野 晃朗 創価大学, 理工学部, 教授 (90272658)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2020-03-31
• Project Status: Discontinued (Fiscal Year 2018)
• Budget Amount: ¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000); Fiscal Year 2019: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2018: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000); Fiscal Year 2017: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000); Fiscal Year 2016: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
• Keywords: 3次元多様体 / homology 3球面 / Reidemeister torsion / 基本群 / 線型表現 / splice / 指標多様体 / トーラス絡み目 / linear representation / fundamental group / SL(2,C) / Brieskorn manifold / homology 3-sphere / figure-eight knot / SL(2;C)-representation / homology sphere / epimorphism / トポロジー / 幾何学

Outline of Annual Research Achievements

Reidemeister torsionは1930年代に定義された多様体とその基本群の線型表現の組に対する位相不変量である。線型表現に依存して値は一般には変化するが、共役な表現に対して値は変わらないので、その多様体の基本群の線型表現の共役類全体に対応する指標多様体上の関数とみなすことができる。
1980年代後半にDennis Johnsonが、Casson不変量との関係、あるいは2行2列で行列式が1である行列全体であるSL(2;C)への表現の場合の公式など、様々な研究を行なった。これらが本研究の出発点である。
本年度はまずAnh Tran氏、森藤孝之氏と共同でトーラス絡み目の指標多様体の構造について研究を行なった。これは古典的によく知られているトーラス結び目の場合の結果を踏まえた一般化である。またトーラス絡み目の指標多様体の構造を調べた上で、Reidemeister torsionやtwisted Alexander多項式の振る舞いについて研究を行なった。論文はarxiv.orgで公開をしている。
また、spliceと呼ばれる2つの結び目からhomology 3球面を作る操作がある。これはそれぞれのmeridianとlongitudeを入れ替えて張り合わせるものである。このspliceで得られる多様体の指標多様体は必ず次元をもち、かつ孤立した点は存在しない。したがってこのspliceにおいてReidemeister torsionを考えた場合、値は無限個の可能性がありうる。これに関して野崎雄太氏との共同研究で、２橋結び目を含むある結び目のクラスでspliceをした場合Reidemeister torisonの値は有限個になることを証明をした。論文はこちらもarxiv.orgで公開をしている。

Research Products

• [Int'l Joint Research] University of Texas at Dallas(米国)
• [Int'l Joint Research] Aix-Marseille University/University of Pau and Pays de l'Adour(フランス)
• [Int'l Joint Research] Aix-Marseille大学(フランス)
• [Int'l Joint Research] Barcelona自治大学(スペイン)
• [Int'l Joint Research] Aix-Marseille University(フランス)
• [Int'l Joint Research] 北京大学(中国)
• [Presentation] Reidemeister torsion of a homology 3-sphere after Dennis Johnson (2019)
  • Author(s): Teruaki Kitano
  • Organizer: The 14th East Asian Conference on Geometric Topology
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Brieskornホモロジー3球面のSL(2;C)-既約表現のReidemeister torsionについて (2018)
  • Author(s): 北野晃朗
  • Organizer: 日本数学会2018年度年会
• [Presentation] A polynomial invariant of a homology 3-sphere defined by Reidemeister torsion (2017)
  • Author(s): Teruaki Kitano
  • Organizer: The 12th East Asian School of Knots and Related Topics
  • Place of Presentation: 東京大学大学院数理科学研究科
  • Year and Date: 2017-02-15
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] 結び目のスプライス和で与えられるホモロジー3球面のSL(2;C)-既約表現のReidemeister torsionの値の有限性について (2017)
  • Author(s): 北野晃朗
  • Organizer: 日本数学会秋季総合分科会
• [Funded Workshop] Topology and Geometry of Low-dimensional Manifolds 2018 (2018)
• [Funded Workshop] Topology and Geometry of Low-dimensional Manifolds (2017)
• [Funded Workshop] Topological invariants in low dimensional topology (2017)
• [Funded Workshop] Fundamental Groups, Representations and Geometric Structures in 3-Manifold Topology (2016)
  • Place of Presentation: 広島大学
  • Year and Date: 2016-11-21