シュレーディンガー作用素のスペクトルの超格子と量子ウォークへの応用

• Project/Area Number: 16K05227
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Mathematical analysis
• Research Institution: Kanazawa University
• Principal Investigator: 小栗栖 修 金沢大学, 数物科学系, 准教授 (80301191)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2018-03-31
• Project Status: Discontinued (Fiscal Year 2017)
• Budget Amount: ¥3,770,000 (Direct Cost: ¥2,900,000、Indirect Cost: ¥870,000); Fiscal Year 2019: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2018: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2017: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2016: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
• Keywords: 関数方程式 / 数理物理 / シュレーディンガー作用素 / スペクトル / 量子ウォーク / スペクトル解析 / 固有値 / 離散グラフ

Outline of Annual Research Achievements

超格子構造とは異種半導体薄膜の積層で製造される人造の構造物で、量子効果を用いた半導体デバイスである。特定のエネルギーを透過または遮断する機能を持つが、透過域には真の透過域と準透過域が生じる難点がある。準透過域の生成の原因は不明で、その制御は難しい問題である。本研究はこの超格子構造を数学的対象ととらえてその特性を数学的に解析することにある。この問題は数学的には一次元のシュレーディンガー方程式の逆散乱問題のひとつであり、近年の代表者と共同研究者による研究から、超格子のスペクトル構造はそれを離散化したグラフ理論的モデルがより解析しやすいモデルになると分っている。
本年度はこのグラフ理論的モデルのスペクトル構造、とくに埋蔵固有値ならびに共鳴順位の構造の解析、量子ウォークへの応用を行なった。まず、このグラフ理論的モデルにおいて埋蔵固有値ならびに共鳴順位が数学的に厳密に計算できることを兵庫県立大学の野村祐司氏、昭和大学の樋口雄介氏との協力の下で「埋蔵固有値のなす安定擬多様体」と呼ぶことのできる構造を発見し、その詳細な性質を調べた。
また超格子構造の完全透過はもっとも単純なモデルでは一次元トンネル現象に対応し、この散乱現象にもとづく新デバイスとしての量子ウォークの研究に結びつけることが可能で、逆に量子ウォークの研究成果の量子デバイスへ応用もすでに世界的に始まっている。東北大学の瀬川悦生氏、九州大学の松江要氏、広島大学の松岡雷士氏との共同研究によりランダムウォークにない量子ウォーク固有の第三の性質を見い出すことができ、投稿論文が受理された。また、物理実験での確認も進んでいるところである。
また瀬川悦生氏、松江要氏との共同研究で、単体複体上の量子ウォークによる量子アルゴリズム（量子探索）の有効性を示し、論文を出版した。

Research Products

• [Journal Article] Resonant-tunneling in discrete-time quantum walk (2018)
  • Author(s): Kaname Matsue, Leo Matsuoka, Osamu Ogurisu, Etsuo Segawa
  • Journal Title: Quantum Studies: Mathematics and Foundations Volume: 印刷中
  • Peer Reviewed / Open Access / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] A Note on the Spectral Mapping Theorem of Quantum Walk Models (2017)
  • Author(s): Kaname Matsue, Osamu Ogurisu, Etsuo Segawa
  • Journal Title: Interdisciplinary Information Sciences Volume: 23 Issue: 1 Pages: 105-114
  • DOI: 10.4036/iis.2017.A.13
  • NAID: 130005519648
  • ISSN: 1340-9050, 1347-6157
  • Peer Reviewed / Open Access / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] Quantum Search on Simplicial Complexes (2017)
  • Author(s): Kaname Matsue, Osamu Ogurisu, Etsuo Segawa
  • Journal Title: Quantum Studies: Mathematics and Foundations Volume: 印刷中 Issue: 4 Pages: 551-577
  • DOI: 10.1007/s40509-017-0144-8
  • NAID: 120006407087
  • Peer Reviewed / Open Access / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] On the discrete eigenvalues of a discrete Schroedinger operator with a finitely supported potential (2016)
  • Author(s): Yusuke Hayashi, Yusuke Higuchi, Yuji Nomura and Osamu Ogurisu
  • Journal Title: Letters in Mathematical Physics Volume: 106 Issue: 11 Pages: 1465-1478
  • DOI: 10.1007/s11005-016-0876-0
  • Peer Reviewed / Open Access / Acknowledgement Compliant
• [Journal Article] Quantum walks on simplicial complexes (2016)
  • Author(s): Kaname Matsue, Osamu Ogurisu, Etsuo Segawa.
  • Journal Title: Quantum Information Processing Volume: 15 Issue: 5 Pages: 1865-1896
  • DOI: 10.1007/s11128-016-1247-6
  • NAID: 120005743927
  • Peer Reviewed / Open Access / Acknowledgement Compliant
• [Presentation] 量子ウォークの位相の挙動について (2017)
  • Author(s): 瀬川悦生
  • Organizer: 松山スペクトル・散乱セミナー
  • Place of Presentation: 愛媛大学（愛媛県松山市）
  • Year and Date: 2017-11-24
• [Presentation] 離散シュレディンガー作用素の埋蔵固有値、閾値レゾナンスに関する逆問題について (2017)
  • Author(s): 野村祐司
  • Organizer: 関数不等式の最良定数とその周辺
  • Place of Presentation: 京都大学数理解析研究所（京都府京都市）
  • Year and Date: 2017-09-21
• [Presentation] 単体的量子探索 (2017)
  • Author(s): 松江要, 瀬川悦生, 小栗栖修
  • Organizer: ２０１７年度秋季総合分科会
  • Place of Presentation: 山形大学（山形県山形市）
  • Year and Date: 2017-09-12
• [Presentation] 単体的量子ウォーク Version 2 -グラフ上coined walkとの対応- (2017)
  • Author(s): 松江要, 瀬川悦生, 小栗栖修
  • Organizer: ２０１７年度秋季総合分科会
  • Place of Presentation: 山形大学（山形県山形市）
  • Year and Date: 2017-09-12
• [Presentation] 量子ウォーク数理に基づいた光共振器の概念設計 (2017)
  • Author(s): 松岡雷士, 松江要, 瀬川悦生, 小栗栖修
  • Organizer: 第5回Yokohama Workshop on Quantum Walk
  • Place of Presentation: 神奈川大学（神奈川県横浜市）
  • Year and Date: 2017-09-02
• [Presentation] スペクトル散乱理論から見た量子ウォークの一考察 (2016)
  • Author(s): 小栗栖修
  • Organizer: 量子系の数理と物質制御への展開II:量子ウォークを架け橋に
  • Place of Presentation: 横浜国立大学
  • Year and Date: 2016-10-20
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 量子ウォークの固有対 : 詳論 (2016)
  • Author(s): 松江要、小栗栖修、瀬川悦生
  • Organizer: 日本数学会秋季総合分科会
  • Place of Presentation: 関西大学
  • Year and Date: 2016-09-15