Research on Galois representations and applications to rational points
| Project/Area Number |
16K17578
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Research Field |
Algebra
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
Arai Keisuke 東京電機大学, 未来科学部, 教授 (80422393)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2022-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2021)
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| Budget Amount *help |
¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Fiscal Year 2019: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2018: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2017: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2016: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
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| Keywords | ガロア表現 / 有理点 / アーベル多様体 / モジュライ / アーベル多様体の非存在 / 指標 / 自己準同型環 / 志村曲線 / ＱＭアーベル曲面 / ハッセ原理 / 有理点問題 |
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| Outline of Final Research Achievements |
We obtained a sufficient condition of non-existence of rational points over number fields on Shimura curves defined over the field of rational numbers. As an application, we obtained an explicit infinite family of counterexamples to the Hasse principle. Furthermore, we proved that such coounterexamples are accounted for by the Manin obstruction.
We also obtained a sufficient condition of non-existence of higher dimensional abelian varieties in explicit terms of algebraic number theory. Furthermore, we obtained a necessary and sufficient condition for abelian varieties over finite fields of having QM.
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| Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements |
ガロア表現は、ガロア群の理解という見地からも、また数論幾何的対象を調べる手段といった見地からも重要である。一方で有理点問題は、多項式を用いて表される方程式の解を求めるという点から、数論における最も基本的な重要課題である。中でも特にモジュライの有理点問題は、幾何的対象を分類するといった意味においても重要性を持つ。本研究は、アーベル多様体から定まるガロア表現を、その中に生じる指標を通して理解することを目指している。さらに応用として、アーベル多様体のモジュライの有理点問題、およびその周辺を開拓していくことを目指している。
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Report
(7 results)
Research Products
(31 results)
