カンドルホモロジーと結び目不変量のバイカンドルへの一般化に関する研究

• Project/Area Number: 17654017
• Research Category: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Hiroshima University
• Principal Investigator: 鎌田 聖一 Hiroshima University, 大学院・理学研究科, 教授 (60254380)
• Project Period (FY): 2005 – 2007
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2007)
• Budget Amount: ¥3,200,000 (Direct Cost: ¥3,200,000); Fiscal Year 2007: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2006: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2005: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000)
• Keywords: カンドル / カンドルホモロジー / 結び目不変量 / バイカンドル / 4元数

Research Abstract

R.Fenn教授、鎌田直子氏の協力のもとで2行2列ブダペストスイッチを用いて4元数バイカンドルによる結び目と仮想結び目、およびそれを拡張する概念である長仮想結び目の不変量を調べた。以前分かっていた長仮想結び目の合成に関する公式(2つの長仮想結び目の合成の多項式不変量は、もとの長仮想結び目の多項式不変量の積に一致する)は、もととなる非可換環上の加群のレベルでも、もとの2つの長仮想結び目の加群(の表示)からある方法を用いて構成されることと、上側のエンドを削除する場合の加群、下側のエンドを削除する場合の加群など数種類の異なる(加群のレベルでの)不変量が得られることが明らかとなった。それらを更に1変数ローラン多項式環への表現を用いて多項式不変量を得ることができる。仮想結び目の中でも多項式不変量では自明な結び目と区別することが難しいことで有名な「岸野の結び目」は、非自明な2つの長仮想結び目の合成として構成されている。我々のバイカンドルを利用した不変量は、そのような結び目に対して有効に働くことが分かった。仮想結び目の実交差点において、上下の情報を無くした概念であるフラット仮想結び目にも我々の方法は適用できる。その場合はWey1代数上の加群に値を持つ不変量が自然に得られることが分かった。Wey1代数上の加群に値を持つフラット仮想結び目については、V.Turaev教授とR.Fenn教授の独自の研究があり、それと我々の加群から来る不変量との関係も明らかとなった。

Research Products

• [Journal Article] Graphic descriptions of monodromy representations (2007)
  • Author(s): Seiichi Kamada
  • Journal Title: Topology Appl. 154 Pages: 1430-1446
  • NAID: 120000875268
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Braid presentation of virtual knots and welded knots (2007)
  • Author(s): Seiichi Kamada
  • Journal Title: Osaka J. Math. 44 Pages: 441-458
  • NAID: 120004846495
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] The braid index is not additive for the connected sum of 2-knots (2006)
  • Author(s): Seiichi Kamada
  • Journal Title: Trans. Amer. Math. Soc. 358 Pages: 5425-5439
• [Journal Article] Word representation of cords on a punctured plane (2005)
  • Author(s): Seiichi Kamada
  • Journal Title: Topology Appl. 146 Pages: 21-50
• [Journal Article] Enveloping monoidal quandles (2005)
  • Author(s): Seiichi Kamada
  • Journal Title: Topology Appl. 146 Pages: 133-148
• [Journal Article] Chart description and a new proof of the classification theorem of genus one Lefschetz fibrations (2005)
  • Author(s): Seiichi Kamada
  • Journal Title: J.Math.Soc.Japan 57 Pages: 573-555
  • NAID: 10016420091
• [Journal Article] Graphic descriptions of monodromy representations
  • Author(s): Seiichi Kamada
  • Journal Title: Topology Appl. (掲載決定)
  • NAID: 120000875268
• [Presentation] Quandles derived from dynamical systems and subsets which are closed under the quandle operations (2007)
  • Author(s): Seiichi Kamada
  • Organizer: 国際会議 Topology and its Applications 2007 at Kyoto
  • Place of Presentation: 京都大学
  • Year and Date: 2007-12-04
• [Presentation] On braid description of surface-links in 4-space (2007)
  • Author(s): Seiichi Kamada
  • Organizer: 国際会議 Knotting Mathematics and Art: International Conference in Low Dimensional Topology and Mathematical Art
  • Place of Presentation: University of South Florida, Florida, USA
  • Year and Date: 2007-11-03
• [Presentation] 長仮想結び目と非可換環上の加群 (2007)
  • Author(s): 鎌田聖一
  • Organizer: 日本数学会秋季総合分科会
  • Place of Presentation: 東北大学
  • Year and Date: 2007-09-21
• [Presentation] 2-dimensional braids in knot theory (2007)
  • Author(s): Seiichi Kamada
  • Organizer: 研究集会 Braids, groups and manifolds in Toulouse
  • Place of Presentation: University Paul Sabatier, Toulouse, France
  • Year and Date: 2007-09-06
• [Presentation] On braid presentation of surfaces in 4-space and a graphic method to describe them (2007)
  • Author(s): Seiichi Kamada
  • Organizer: 国際会議 Geometric Topology Conference
  • Place of Presentation: Peking University, China
  • Year and Date: 2007-06-21
• [Presentation] On braid presentation of knotted surfaces and enveloping monoidal quandles (2007)
  • Author(s): Seiichi Kamada
  • Organizer: 研究集会 The Many Strands of the Braid Groups
  • Place of Presentation: The Banff Center, Banff, Canada
  • Year and Date: 2007-04-26