画像処理に用いられる調和写像流の離散系

• Project/Area Number: 17654037
• Research Category: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Global analysis
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 儀我 美一 The University of Tokyo, 大学院・数理科学研究科, 教授 (70144110)
• Project Period (FY): 2005 – 2007
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2007)
• Budget Amount: ¥3,500,000 (Direct Cost: ¥3,500,000); Fiscal Year 2007: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000); Fiscal Year 2006: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000); Fiscal Year 2005: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000)
• Keywords: 全変動流 / 離散系 / 色配系 / 非局所的 / 画像処理 / 拡散方程式 / 調和写像流 / 勾配系 / 束縛条件

Research Abstract

調和写像流はユークリッド空間に埋め込まれた多様体に像が含まれる(つまり束縛条件の)ディリクレエネルギーの臨界点として定義される。その様な写像をつくるために、このディリクレエネルギーの勾配案を考える。この解を調和写像流という。ディリクレエネルギーの代わりに全変動を考えたものを全変動流という。このモデルは画像処理で輪郭を保ちながらノイズを除去する上で、優れているため、しばしば用いられる。しかし、束縛条件がない場合であっても拡散が特定の面について非常に強い非局所的な要素を持つ特異拡散方程式であり、その方程式の解の定義も自明ではないため、解の性質等の解明が難しい。
本研究では全変動流方程式を近似する離散系である常微分方程式を提案し、ある程度の成功を収めた。今年度は問題の原点に戻り、束縛条件のない場合の全変動流について、数値実験を行い医療画像について十分効果がある事を確認した。普通のガウスフィルターに比べ、残るべき輪郭が明確になっているなど、全変動流を用いるメリットがこの場合にも再確認された。
一方、周期構造のような構造はこの種の空間について一様な方程式では保存されることがよく知られているが、概周期構造となるとよくわからなかった。この点を明らかにするため、流体力学の方程式など、様々な方程式について概周期構造が保たれる事を証明した。これらは計画を立てた時点では予定していなかったが、重要なトピックだと思われるので研究した。

Research Products

• [Journal Article] PDEを利用した画像処理 (2007)
  • Author(s): 儀我美一
  • Journal Title: Medical Imaging Technology 25 25 Pages: 56-59
• [Journal Article] Global solvability of the Navier-Stokes equations in space based on sum-closed frequency sets (2007)
  • Author(s): Y. Giga, K. Inui, A. Mahalov and J. Saal
  • Journal Title: Adv. Differential Equations 12 Pages: 721-736
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] The Cauchy problem for the Navier-Stokes equations with spatially almost periodic initial data (2007)
  • Author(s): Y. Giga, A. Mahalov, and B. Nicolaenko
  • Journal Title: Mathematical Aspects of Nonlinear Dispersive Equations 163 Pages: 213-222
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Selfsimilar expanding solutions in a sector for a crystalline flow (2006)
  • Author(s): M.-H.Giga, Y.Giga, H.Hontani
  • Journal Title: SIAM J. Math. Anal 37 Pages: 1207-1226
• [Journal Article] Navier-Stokes equations in a rotating frame in ${bfR}^3$ with initial data nondecreasing at infinity (2006)
  • Author(s): Y.Giga, K.Inui, A.Mahalov, S.Matsui
  • Journal Title: Hokkaido Math. J. 35 Pages: 321-364
• [Journal Article] Stability of facets of crystals from vapor (2006)
  • Author(s): Y.Giga, P.Rybka
  • Journal Title: Discrete Contin. Dyn. Syst 14 Pages: 689-706
• [Journal Article] On a uniform approximation of motion by anisotropic curvature by the Allen-Cahn equations. (2006)
  • Author(s): Y.Giga, T.Ohtsuka, R.Sch" atzle
  • Journal Title: Interfaces and Free Boundaries 8 Pages: 317-348
• [Journal Article] Global solvability of constrained singular diffusion equation associated with essential variation (2006)
  • Author(s): Y.Giga, H.Kuroda, N.Yamazaki
  • Journal Title: Proc. Free boundary problem 2005, Internationalseries of Namerical Math 154 Pages: 209-218
• [Journal Article] On blow up at space infinity for semilinear heat equations (2006)
  • Author(s): Y.Giga, N.Umeda
  • Journal Title: J. Math. Anal. Appl 316 Pages: 538-555
• [Journal Article] Self-similar expanding solutions in a sector for a crystalline flow. (2006)
  • Author(s): M.-H.Giga, Y.Giga, H.Hontani
  • Journal Title: SIAM J.Math.Anal 37 Pages: 1207-1226
• [Journal Article] On strong comparison principle for semicontinuous viscosity solutions of some nonlinear elliptic equations (2005)
  • Author(s): Y.Giga, M.Ohnuma
  • Journal Title: Int.J.Pure Appl.Math. 22 Pages: 165-184
• [Journal Article] Stability of facets of self-similar motion of a crystal (2005)
  • Author(s): Y.Giga, P.Rybka
  • Journal Title: Adv.Differential Equations 10 Pages: 601-634
• [Journal Article] Expanding selfsimilar solutions of a crystalline flow with applications to contour figure analysis (2005)
  • Author(s): H.Hontani, M.-H.Giga, Y.Giga, K.Deguchi
  • Journal Title: Discrete Appl.Math 147 Pages: 265-285
• [Journal Article] An existence result for a discertized constrained gradient system of total variation flow in color image processing. (2005)
  • Author(s): Y.Giga, H.Kuroda, N.Yamazaki
  • Journal Title: Interdisciplinary Information Sciences 11 Pages: 199-204
• [Presentation] On facet bending solutions for planar crystalline curvature flow equations with nonuniform driving force (2007)
  • Author(s): Y. Giga
  • Organizer: International Conference on Free Boundary Problems in Chiba 2007
  • Place of Presentation: Chiba
  • Year and Date: 2007-11-30
• [Presentation] A level-set method for viscosity solutions with shocks (2007)
  • Author(s): Mi. -Ho. Giga and Y. Giga
  • Organizer: Viscosity solutions of paritial differential equations: recent advances and applications, ICIAM 2007
  • Place of Presentation: Universitat Zurich Switzerland
  • Year and Date: 2007-07-18
• [Presentation] Surface Evolution Equations-A level set approach, Aspects of Membrane Dynamics (2007)
  • Author(s): Y. Giga
  • Organizer: Aspects of Membrane Dynamics
  • Place of Presentation: Royal Institute of Technology Stockholm
  • Year and Date: 2007-06-21
• [Book] RIMS Kokyuroku, Bessatsu (2007)
  • Author(s): Y. Giga, H. Kozono, H. Okamoto and Y. Shibata (編著)
  • Total Pages: 408
  • Publisher: Kyoto Conference on the Navier-Stokes quations and their applications, 2007, March
• [Book] Birkhauser, Basel-Boton-Berlin (2006)
  • Author(s): Y.Giga
  • Total Pages: 273
  • Publisher: Surface Evolution Equations-a level set approach
• [Book] Surface evolution equations - a level set approach (2006)
  • Author(s): Y.Giga
  • Total Pages: 276
  • Publisher: Birkhauser, Basel-Boston-Berlin