高次元代数多様体の双有理幾何学

• Project/Area Number: 17684001
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (A)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 藤野 修 Nagoya University, 多元数理科学研究科, 准教授 (60324711)
• Project Period (FY): 2005 – 2007
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2007)
• Budget Amount: ¥9,100,000 (Direct Cost: ¥7,000,000、Indirect Cost: ¥2,100,000); Fiscal Year 2007: ¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000); Fiscal Year 2006: ¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000); Fiscal Year 2005: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000)
• Keywords: 極小モデル理論 / トーリック幾何学 / 消滅定理 / 双有理幾何学 / 極小モデル / ホッジ理論 / 調和形式 / トーリック多様体 / クライマン森コーン / 射影性 / フリップ / 標準環

Research Abstract

19年度は極小モデル理論の対数的標準化を目指して奮闘した一年であった。17年度と18年度に、HaconとMcKernanを中心に、極小モデル理論は大発展した。それらの結果をすべて対数的標準対という世界で成り立つことを証明したいのである。錐定理などの基本的な枠組みは、Ambroの先駆的な仕事を受け、十分一般的な形で完成することができた。残った問題はフリップの存在問題と、フリップの停止問題、アパンダンス予想である。これらの問題の解決が夢である。4次元の場合は、フリップの存在を3次元の可約な多様体のアパンダンス予想を使うことによって証明出来た。かなり難解な証明である。結局、4次元では対数的標準環が有限生成であることまで証明出来た。Birkarの最新の結果や、私の修士論文の結果、福田による川又の定理の一般化など、現在までに知られている結果を総動員しての解決である。このような方法は現在のところ高次元の多様体には適用出来ない。ここが問題点である。今後の課題である。また、トーリック多様体上のコホモロジー群の消滅定理に関しても研究を続けていた。これは、簡単な手法で強い定理が証明出来るという理想的な結果になった。自信作である。19年度はたくさんのプレプリントを書いたが、投稿をさポっている論文がかなりの数存在する。20年度中にはすべて投稿していきたいと思っている。最近の極小モデル理論は発展が早いので、一線で活動するのはかなり大変な状態だと痛感している。来年以降も頑張って行きたいと思う。

Research Products

• [Journal Article] Multiplication maps and vanishing theorems for toric varieties (2007)
  • Author(s): Osamu Fujino
  • Journal Title: Math. Z 257 Pages: 631-641
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Special Termination and sedution to pl flips (2007)
  • Author(s): Osamu Fujino
  • Journal Title: Oxford Lectunes Sen, Math. Appl. 35 Pages: 63-75
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] What is log tenminal? (2007)
  • Author(s): Osamu Fujino
  • Journal Title: Oxford lectunes Sen, Math. Appl. 35 Pages: 49-62
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Smooth complete toric threefolds with no nontrivial nef line bundles (2005)
  • Author(s): Osamu Fujino, Sam Payne
  • Journal Title: Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 81 Pages: 174-179
  • NAID: 40007140165
• [Journal Article] On the Kleiman-Mori cone (2005)
  • Author(s): Osamu Fujino
  • Journal Title: Proc.Japan Acad.Ser.A.Math.Sci. 81 Pages: 80-84
  • NAID: 40006982735
• [Presentation] Kodaina vanishing theorem for log canonical varieties (2008)
  • Author(s): 藤野 修
  • Organizer: Hodge理論、退化、特異点の代数幾何とトポロジー研究隼会
  • Place of Presentation: 東北学院大学
  • Year and Date: 2008-03-10
• [Presentation] Theory of non-lc ideal sheares (2008)
  • Author(s): 藤野 修
  • Organizer: 九州大学代数幾何セミナー
  • Place of Presentation: 九州大学
  • Year and Date: 2008-01-22
• [Presentation] Vanishing theorems for toric varieties (2008)
  • Author(s): 藤野 修
  • Organizer: トーリックタタ様体の理論の展開と応用
  • Place of Presentation: 東北大学
  • Year and Date: 2008-01-12
• [Presentation] Theory of non-lc ideal sheares (2007)
  • Author(s): Osamu Fujino
  • Organizer: Workshop or Higher dimensional minimal model program
  • Place of Presentation: Wanwick Mathema tical Institute, UK
  • Year and Date: 2007-12-18
• [Presentation] 乗数イデアル層の類似物 (2007)
  • Author(s): 藤野 修
  • Organizer: 複素解析幾何セミナー
  • Place of Presentation: 東京大学
  • Year and Date: 2007-11-19
• [Presentation] Recent developments in the log minimal model program II (2007)
  • Author(s): 藤野 修
  • Organizer: 代数学シンポジウム
  • Place of Presentation: 神戸大学
  • Year and Date: 2007-08-08
• [Presentation] Multip lication maps and vanishiug theorems for toric varietie (2007)
  • Author(s): 藤野 修
  • Organizer: 高次元代数多様体とベクトル束
  • Place of Presentation: 京大・数理研
  • Year and Date: 2007-07-12
• [Presentation] 極小モデル理論の新展開 (2007)
  • Author(s): 藤野 修
  • Organizer: 談話会
  • Place of Presentation: 広島大学
  • Year and Date: 2007-06-12
• [Presentation] Base point free theorems (2007)
  • Author(s): 藤野 修
  • Organizer: 代数幾何セミナー
  • Place of Presentation: 京都大学
  • Year and Date: 2007-05-18
• [Presentation] Base Point free theorems (2007)
  • Author(s): Osamu Fujino
  • Organizer: Minimal and Canonical Models in Algebraic Geomefry
  • Place of Presentation: MSRI. USA
  • Year and Date: 2007-04-18