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積分幾何学による変分問題:ラグランジュ部分多様体のハミルトン体積最小性

Research Project

Project/Area Number 17740040
Research Category

Grant-in-Aid for Young Scientists (B)

Allocation TypeSingle-year Grants
Research Field Geometry
Research InstitutionOsaka City University (2006-2007)
Tokyo Metropolitan University (2005)

Principal Investigator

酒井 高司  Osaka City University, 大学院・理学研究科, 特任助教 (30381445)

Project Period (FY) 2005 – 2007
Project Status Completed (Fiscal Year 2007)
Budget Amount *help
¥2,000,000 (Direct Cost: ¥2,000,000)
Fiscal Year 2007: ¥600,000 (Direct Cost: ¥600,000)
Fiscal Year 2006: ¥600,000 (Direct Cost: ¥600,000)
Fiscal Year 2005: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
Keywords等質空間 / 対称空間 / 極小部分多様体 / ラグランジュ部分多様体 / R空間 / 幾何学 / 積分幾何学 / シンプレクティック多様体 / ハミルトン安定性 / 変分法
Research Abstract

体積汎関数の停留点となる部分多様体は極小部分多様体と呼ばれ,幾何学の分野において重要な研究対象となっている。特に,キャリブレート部分多様体は体積最小となる部分多様体として重要である。例えば,Calabi-Yau多様体内の特殊Lagrange部分多様体はキャリブレート部分多様体であり,現在,ミラー対称性に関連して注目されている。本研究課題では積分幾何学やコンパクトLie群の表現論を基に部分多様体の幾何学的変分問題の研究に取り組んだ。
Riemann対称対の線形イソトロピー表現の軌道は球面内の重要な等質部分多様体の例を与える。井川治(福島高専)、田崎博之(筑波大学)との共同研究によって,Riemann対称対の線形イソトロピー表現の軌道で球面内のaustere部分多様体と呼ばれる極小部分多様体になるものを分類した。また,各点の各法ベクトルに対して鏡映を持つ極小部分多様体として弱鏡映部分多様体の概念を与え,超球面内の弱鏡映部分多様体になる軌道もすべて決定した。さらに,Gauss写像が退化する軌道を分類し,そのような軌道は全て球面内の弱鏡映部分多様体となることがわかった。球面内の部分多様体のGauss写像の退化性についてはFerusの不等式と呼ばれる退化次数の評価式が知られている。我々の分類したGauss写像が退化する軌道によって,Ferusの不等式の等号を満たす新しい部分多様体の例を数多く与えることができる。
弱鏡映部分多様体は大域的な対称性から極小性が導出される。弱鏡映部分多様体の概念は極小部分多様体の今後の研究に役立つであろう。Austere部分多様体の概念は特殊Lagrange部分多様体を構成するためにHarvey-Lawsonによって導入された。我々の分類した球面内のaustere軌道からC^n内などの多くの特殊Lagrange部分多様体の具体例が得られる。今後はこれらの特殊Lagrange部分多様体の研究への発展が期待される。

Report

(3 results)
  • 2007 Annual Research Report
  • 2006 Annual Research Report
  • 2005 Annual Research Report
  • Research Products

    (9 results)

All 2007 2005 Other

All Journal Article (2 results) (of which Peer Reviewed: 1 results) Presentation (6 results) Remarks (1 results)

  • [Journal Article] Transferred Kinematic formulae in two point homogeneous spaces2007

    • Author(s)
      Takashi Sakai
    • Journal Title

      Tsukuba Journal of Mathematics 31

      Pages: 343-354

    • NAID

      120005848475

    • Related Report
      2007 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Kinematic formulas for integral invariants of degree two in real space forms2005

    • Author(s)
      H.J.Kang, T.Sakai, Y.J.Suh
    • Journal Title

      Indiana University Mathematics Journal 54 No.5

      Pages: 1499-1520

    • Related Report
      2005 Annual Research Report
  • [Presentation] On the geometry of orbits of s-representations2007

    • Author(s)
      酒井 高司
    • Organizer
      研究集会「変換の理論とその応用
    • Place of Presentation
      京都大学数理解析研究所
    • Related Report
      2007 Annual Research Report
  • [Presentation] Gauss写像が退化する軌道と弱鏡映軌道2007

    • Author(s)
      酒井 高司
    • Organizer
      第54回幾何学シンポジウム
    • Place of Presentation
      鹿児島大学
    • Related Report
      2007 Annual Research Report
  • [Presentation] 3D-XplorMathの開発と教育利用について2007

    • Author(s)
      酒井 高司
    • Organizer
      研究集会「数式処理と教育」
    • Place of Presentation
      京都大学数理解析研究所
    • Related Report
      2007 Annual Research Report
  • [Presentation] Gauss写像の退化する軌道と弱鏡映軌道2007

    • Author(s)
      井川 治、酒井 高司、田崎 博之
    • Organizer
      2007年度日本数学会秋季総合分科会
    • Place of Presentation
      東北大学
    • Related Report
      2007 Annual Research Report
  • [Presentation] Weakly reflective orbits and tangentially degenerate orbits2007

    • Author(s)
      酒井 高司
    • Organizer
      大阪市立大学数学研究所微分幾何学ワークショップ「部分多様体の幾何学における有限次元および無限次元リー理論的方法」
    • Place of Presentation
      大阪市立大学
    • Related Report
      2007 Annual Research Report
  • [Presentation] Weakly reflective orbits of tangentially degenerate orbits of s-representations I,II2007

    • Author(s)
      酒井 高司
    • Organizer
      Mini International Workshop on Lagrangian Submanifolds and Related Fields
    • Place of Presentation
      Kyungpook National University, Taegue, Korea
    • Related Report
      2007 Annual Research Report
  • [Remarks]

    • URL

      http://math01.sci.osaka-cu.ac.jp/~sakai/

    • Related Report
      2007 Annual Research Report

URL: 

Published: 2005-04-01   Modified: 2016-04-21  

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