位相幾何学的手法と計算機を利用した力学系の解析

• Project/Area Number: 17740054
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: General mathematics (including Probability theory/Statistical mathematics)
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 荒井 迅 Kyoto University, 大学院・理学研究科, 助教 (80362432)
• Project Period (FY): 2005 – 2007
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2007)
• Budget Amount: ¥3,500,000 (Direct Cost: ¥3,500,000); Fiscal Year 2007: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,300,000); Fiscal Year 2006: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2005: ¥1,200,000 (Direct Cost: ¥1,200,000)
• Keywords: 力学系 / エノン写像 / モノドロミー / 計算ホモロジー理論 / コンレイ指数 / 計算機援用証明 / 反可積分極限 / ホモクリニック分岐

Research Abstract

本年度は、昨年までの研究をさらに押し進め、双曲性証明アリゴリズムの改良や、その応用、またモノドロミー理論の展開を行なった。双曲性証明アルゴリズムの改良では、グラフ理論的アルゴリズムの見直しを行なうことでより高速かつ安定した計算時間での証明が行なえるようになり、またメモリの使用量を減らすためにsuccinct data structureの実装も取り入れた。このアルゴリズムの応用としては、昨年までに引き続き非線形レスリーモデルの解析を進めるとともに、九州大学の石井豊氏と共同でエノン写像の最大エントロピー領域の境界の解析も始めた。これに関しては、双曲性証明アルゴリズムを用いる部分はほぼ完成しており、もう一つの鍵であるcrossed mapping conditionを検証する段階に達している。さらに、面積保存写像における周期倍分岐の極限点付近での一様双曲性についても研究を進め、まだ極限点の直後における双曲性の証明には至っていないものの、その近傍における非双曲性の強さに関する結果を得ている。モノドロミー理論の展開については、モノドロミーと分岐の関係を調べることで一種のforcing理論を構築することを目指し、とくに周期の低い周期点の場合に、分岐のタイプと、その分岐がモノドロミーに引き起す作用の関係を調べた。また、台湾Academia SinicaのYi-Chiuan Chen氏との共同研究では、従来直線的なパラメータでしか考えられていなかったanti-integrable limitの理論に対し、パラメータを曲線上に採る拡張を試みた。とくにエノン写像では、曲線上にパラメータを採ることで、従来の解析では見えてこなかった構造が得られることを見い出した。

Research Products

• [Journal Article] 計算ホモロジー理論の力学系への応用 (2008)
  • Author(s): 荒井 迅
  • Journal Title: 応用数理 18(未定)
  • NAID: 110006633785
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] エノン写像の双曲型パラメータとそのモノドロミー (2007)
  • Author(s): 荒井 迅
  • Journal Title: 数理解析研究所講究録 1537 Pages: 65-76
• [Journal Article] 計算機支援による力学系の解析 (2005)
  • Author(s): 荒井 迅
  • Journal Title: Bulletin of the Japan Society for Industrial and Applied Mathematics 15巻2号 Pages: 20-31
• [Journal Article] On Hyperbolic Plateaus of the Henon Map
  • Author(s): 荒井 迅
  • Journal Title: Experimental Mathematics (掲載决定)(未定)
• [Journal Article] On Applications of Rigorous Computing to Dynamical Systems
  • Author(s): 荒井 迅
  • Journal Title: 数理解析研究所講究録 未定(掲載予定)(to appear)
• [Journal Article] Rigorous Computations of Homoclinic Tangencies
  • Author(s): 荒井 迅
  • Journal Title: SIAM Journal of Applied Dynamical Systems 未定(to appear)
• [Journal Article] On Loops in the Hyperbolic Loci of the Complex Henon Maps
  • Author(s): 荒井 迅
  • Journal Title: 数理解析研究所講究録 未定(掲載予定)(to appear)
• [Presentation] A hyperbolicity verification algorithm and its application to the real Henon map (2008)
  • Author(s): 荒井 迅
  • Organizer: Computer Assisted Nonlinear Dynamics (Candy08)
  • Place of Presentation: Imperial College, London
  • Year and Date: 2008-03-17
• [Presentation] On rigorous verification of stability and bifurcation of dynamical systems (2008)
  • Author(s): 荒井 迅
  • Organizer: 2008 International Workshop on Numerical Verifications and its Applications
  • Place of Presentation: 東京第一ホテルオキナワグランメールリゾート
  • Year and Date: 2008-03-01
• [Presentation] Hyperbolicity and monodromy of real and complex Henon maps (2007)
  • Author(s): 荒井 迅
  • Organizer: International Conference on Topology and its Applications 2007
  • Place of Presentation: 京都大学
  • Year and Date: 2007-12-07