量子可積分系における物理量の代数的構造

• Project/Area Number: 17740089
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Global analysis
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 竹山 美宏 University of Tsukuba, 大学院・数理物質科学研究科, 講師 (60375392)
• Project Period (FY): 2005 – 2007
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2007)
• Budget Amount: ¥2,900,000 (Direct Cost: ¥2,900,000); Fiscal Year 2007: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000); Fiscal Year 2006: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000); Fiscal Year 2005: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
• Keywords: 量子可積分系 / qKZ方程式 / アフィンヘッケ代数

Research Abstract

昨年度の研究では、disorderパラメータの入ったXXZ模型における相関関数の代数的表示式を構成した。この表示式は、反可換な二つの作用素により記述される。これらの作用素は、XXZ模型における局所作用素全体のなす空間に作用するが、その性質を調べることにより、消滅演算子として働いている。今年度の研究では、これらに対応する生成演算子の働きをする作用素の構成に成功した。
上で述べた生成・消滅演算子は以下のようにして構成される。量子代数Uq(sl_2)の2次元表現とq-oscillator表現のテンソル積をauxiliary space とする L operator の積について、その(2次元表現に関する)非対角成分のq-oscillator 部分についてのトレースをとることで定まる作用素を考える。このとき、この作用素の特異部分から上記の消滅演算子が定まり、正則部分から決まるある差分方程式の解として生成演算子が定義される。以上のようにして構成された消滅・生成演算子について、生成演算子どうしが反可換である点を除いて、正準交換関係を満たすことを証明した。
我々の結果により、XXZ模型の局所作用素全体の空間にはフェルミ構造があることが明らかとなった。さらに、昨年度の研究で得られた相関関数の代数的表示式から、我々の構成した生成演算子により作られる局所作用素の相関関数が、多重積分を用いることなく行列式によって明示的に表示されることも分かる。このような場の理論的な構造を活用することにより、スピン相関関数など、重要な物理量を計算する可能性が広がるであろう。また、我々の発見したフェルミ構造を表現論の立場から数学的に理解することは興味深い問題であると思われる。

Research Products

• [Journal Article] Sets of rigged paths with Virasoro characters (2008)
  • Author(s): B. Feigin, M. Jimbo, T. Miwa, E. Mukhin, Y. Takeyama
  • Journal Title: Ramanujan Journal 15 Pages: 123-145
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Hidden Grassmann structure in the XXZ model (2007)
  • Author(s): H. Boos, M. Jimbo, T. Miwa, F. Smirnov, Y. Takeyama
  • Journal Title: Communications in Mathematical Physics 272 Pages: 263-281
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] The quantum Knizhnik-Zamolodchikov equation and non-symmetric Macdonald polynomials (2007)
  • Author(s): M. Kasatani, Y. Takeyama
  • Journal Title: Funkcialaj Ekvacioj 50 Pages: 491-509
  • NAID: 130000140696
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Density matrix of a finite sub-chain of the Heisenberg anri-ferromagnet. (2006)
  • Author(s): H.Boos, M.Jimbo, T.Miwa, F.Smirnov, Y.Takeyama
  • Journal Title: Letters in Mathematical Physics 76, no3 Pages: 201-208
• [Journal Article] Algebraic representation of correlation functions in integrable spin chains (2006)
  • Author(s): H.Boos, M.Jimbo, T.Miwa, F.Smirnov, Y.Takeyama
  • Journal Title: Annales Henri Poincare 7, no.7-8 Pages: 1395-1428
• [Journal Article] Reduced qKZ equation and correlation functions of the XXZ model (2006)
  • Author(s): H.Boos, M.Jimbo, T.Miwa F.Smirnov, Y.Takeyama
  • Journal Title: Communications in Mathematical Physics 261, No.1 Pages: 245-276
• [Journal Article] A recursion formula for the correlation functions of an inhomogeneous XXX model (2005)
  • Author(s): H.Boos, M.Jimbo, T.Miwa F.Smirnov, Y.Takeyama
  • Journal Title: Algebra i Analiz 17,No.1 Pages: 115-159
• [Journal Article] A monomial basis for the Virasoro minimal series M(p, p') : the case 1<p/p'<2 (2005)
  • Author(s): B.Feigin, M.Jimbo, T.Miwa, E.Mukhin, Y.Takeyama
  • Journal Title: Communications in Mathematical Physics 257, No.2 Pages: 395-423
• [Journal Article] Traces on the Sklyanin algebra and correlation functions of the eight-vertex model (2005)
  • Author(s): H.Boos, M.Jimbo, T.Miwa F.Smirnov, Y.Takeyama
  • Journal Title: Journal of Physics. A.Mathematical and General 38, No.35 Pages: 7629-7659
• [Presentation] Fermionic basis for space of operators in the XXZ model (2007)
  • Author(s): 竹山美宏(代表)
  • Organizer: 日本数学会秋季総合分科会
  • Place of Presentation: 東北大学
  • Year and Date: 2007-09-21