結晶のスパイラル成長を表す数理モデルの研究

• Project/Area Number: 17740091
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Global analysis
• Research Institution: Sophia University (2007); The University of Tokyo (2005-2006)
• Principal Investigator: 大塚 岳 Sophia University, 理工学部, 助教 (00396847)
• Project Period (FY): 2005 – 2007
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2007)
• Budget Amount: ¥3,100,000 (Direct Cost: ¥3,100,000); Fiscal Year 2007: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2006: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2005: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
• Keywords: 平均曲率流方程式 / Allen-Cahn 方程式 / 粘性解 / 等高線法 / 最適制御 / 反応拡散方程式 / 特異極限 / 結晶成長 / 界面現象

Research Abstract

今年度はスパイラル成長を表す等高線方程式とAllen-Cahn型方程式の同一性に付いての研究、曲線の挙動、形状に関する研究を行った。
Allen-Cahn型方程式モデルと等高線方程式モデルの同一性に関する研究では、円環領域における渦巻曲線の運動を表す幾何モデルの解を、集合的な視点から定式化することに成功した。本手法は非凸領域において平均曲率流方程式にNeumann境界条件を課した境界値問題とAIler-Cahn方程式の同一性を示す理論で提唱されたものである。この理論を用いれば本研究の目的は達っせられ、その目処は立ったと考えるが、今年度では両者の解の関係を示す最終的な結論を得るには至らなかった。今後の研究でこれを示し、またより一般的な状況への拡張を行い、論文として発表する予定である。
挙動と形状の研究において、曲線が束になって動く束化現象について考察するため、Allen-Cahn型方程式の特異極限からそれぞれ運動方程式の異なる二つの界面が得られる状況を考察した。本研究ではとくに、駆動力が界面ごとに異なる状況を設定した。その結果、界面同士が衝突しない状況下では、AIlen-Cahn型方程式から得られる界面の特異極限がそれぞれ別の平均曲率流方程式にしたがって動く界面に収束することが証明された。これまでの研究と比べて二つの異なる運動を示す界面が発生することが新しいと考える。今後はこの成果を元に、束化現象を引き起こす状況での研究を行いたいと考えている。
挙動の研究中に界面の挙動を制御する問題に興味を持ち、最適制御問題を研究した。その結果、特異拡散と解の値に制限を持つAIlen-Cahn型方程式において、最適制御の存在と-意性、その最適制御の計算アルゴリズムなどが得られた。

Research Products

• [Journal Article] Motion of interfaces by an AILen-Cahn type equation with multiple-well potentials (2008)
  • Author(s): T., Ohtsuka
  • Journal Title: Asymptotic analysis 56 Pages: 87-123
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Optimal control of a singular diffusion equation with constraint (2008)
  • Author(s): T., Ohtsuka・K., Shirakawa・N., Yamazaki
  • Journal Title: Advances in Mathematical Sciences and Applications (掲載決定)
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] 多重井戸型ホテンシャルによるAllen-Cahn型の方程式の特異極限について (2007)
  • Author(s): 大塚 岳
  • Journal Title: 第28回発展方程式若手セミナー報告集 Pages: 187-193
• [Journal Article] 非等方的Allen-Cahn方程式による界面運動の近似の一様性 (2006)
  • Author(s): 大塚 岳
  • Journal Title: 第2回数学総合若手研究集会 北海道大学数学講究録 104 Pages: 259-266
• [Journal Article] Uniqueness and existence of generalized motion for spiral crystal growth
  • Author(s): S., Goto・M., Nakagawa・T., Ohtsnka
  • Journal Title: Indiana University Mathematics Journal (受理済み)
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] The singular limit of an Allen-Calm type equation with unbalanced mul tiple-well potenti il
  • Author(s): T., Obtsuka
  • Journal Title: International Conference for the 25th Anniversary of Viscosity solutionO)Proceedings (掲載決定)
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Convergence of numerical algorithm for optimal control problem of Allen-Cahn type equation with constraint
  • Author(s): T., Ohtsuka・K., Shirakawa・N., Yamazaki
  • Journal Title: International Conference on Free Boundary Problems in Chiba 2007のProceedings (投稿中)
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Numerical simulations for optimal controls of an Allen-Cahn type equation with constraint
  • Author(s): T., Ohtsuka
  • Journal Title: International Conference on Free Boundary Problems in Chiba 20070)Proceedings (投稿中)
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] On a uniform approximation of motion by anisotropic curvature by the Allen-Cahn equation
  • Author(s): Y.Giga, T.Ohtsuka, R.Schatzle
  • Journal Title: Interfaces and Free Boundaries
  • NAID: 120006459446
• [Presentation] Optimal control for singular diffusion equations with constraint and its numerical computation (2008)
  • Author(s): 大塚岳
  • Organizer: 第25回 九州における偏微分方程式研究集会
  • Place of Presentation: 九州大学
  • Year and Date: 2008-01-30
• [Presentation] Uniqueness and existence of evolutions for spirals by a curvature flow equation with a driving force (2008)
  • Author(s): 大塚岳
  • Organizer: 非線形偏微分方程式とその応用
  • Place of Presentation: 神戸大学
  • Year and Date: 2008-01-09
• [Presentation] Numerical simulations for optimal controls of Allen-Cahn type equations with constraint (2007)
  • Author(s): T., Ohtsuka
  • Organizer: International Conference on Free Boundary Problems in Chiba 2007
  • Place of Presentation: 千葉大学
  • Year and Date: 2007-11-26
• [Presentation] 駆動力付き曲率流の等高線方程式による渦巻曲線の運動の一意性 (2007)
  • Author(s): 後藤俊一、中川真紀、大塚岳
  • Organizer: 日本数学会秋季総合分科会函数方程式論分科会
  • Place of Presentation: 東北大学
  • Year and Date: 2007-09-24
• [Presentation] Existence and uniqueness of level sets for spiral crystal growth (2007)
  • Author(s): T., Ohtsuka
  • Organizer: 6th international congress on industrial and applied mathematics, Minisymposium Level set method: current development
  • Place of Presentation: ETH Zurich
  • Year and Date: 2007-07-18
• [Presentation] The singular limit of the Allen-Cahn type equation with multiple-weel potentials (2007)
  • Author(s): T., Ohtsuka
  • Organizer: International Conference for the 25th Anniversary of Viscosity solution
  • Place of Presentation: 東京大学
  • Year and Date: 2007-06-06