圏論的力学系の研究

• Project/Area Number: 17J00227
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 菊田 康平 大阪大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
• Project Period (FY): 2017-04-26 – 2020-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2019)
• Budget Amount: ¥3,100,000 (Direct Cost: ¥3,100,000); Fiscal Year 2019: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2018: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2017: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
• Keywords: 安定性条件 / 擬Anosov函手 / Serre次元 / CAT(0)性 / Gromov双曲性 / 圏論的エントロピー / 導来圏 / 距離空間 / エントロピー

Outline of Annual Research Achievements

研究課題である「圏論的力学系の研究」について，三角圏の自己同値群の力学的側面を考察した．以下，詳細を述べる．
(1)Dimitrov-Haiden-Katzarkov-Kontsevichにより，擬Anosov写像の圏論的類似として擬Anosov函手が導入された．報告者は，擬Anosov写像が持つ性質の圏論的類似を動機として，安定性条件のなす集合への作用の観点から擬Anosov函手を調べた．擬Anosov函手の双曲性を示すとともに，推移長(translation length)と圏論的エントロピーの間の不等式を導出した．同2019年にFan-Filip-Haiden-Katzarkov-Liuにより一般化された定義が与えられており，擬Anosov函手の理論はさらなる発展が見込める．
(2)Serre函手の圏論的エントロピーの漸近挙動は，代数多様体や多元環の次元のような振る舞いをする．この観察から導来圏，より広く三角圏に対してSerre次元という量が定義される．報告者は，高橋篤史氏と大内元気氏との共同研究で，このSerre次元とIkeda-Qiuにより定義された安定性条件の大域次元という量を比較した．さらにGepner型安定性条件を持つという仮定のもと，Serre次元が１より小さい三角圏の分類を行った．
(3)距離空間への等長作用という観点から，安定性条件の成す集合とその上の自然な距離の非正曲率的性質(CAT(0)性，Gromov双曲性)を調べた．結果として，この距離空間がCAT(0)でもGromov双曲的でもないことを示した．さらにKronecker箙の場合で，複素数体作用に関する商空間上の商距離がCAT(0)ではないことを示した．今後はK3曲面の場合に別の距離のCAT(0)性を考察し，自己同値群の等長作用を調べる．

Research Progress Status

令和元年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

令和元年度が最終年度であるため、記入しない。

Research Products

• [Journal Article] Curvature of the space of stability conditions (2019)
  • Author(s): Kohei Kikuta
  • Journal Title: arXiv:1907.10973 Volume: -
  • Open Access
• [Journal Article] Serre dimension and stability conditions (2019)
  • Author(s): Kohei Kikuta, Genki Ouchi, Atsushi Takahashi
  • Journal Title: arXiv:1907.10981 Volume: -
  • Open Access
• [Journal Article] A NOTE ON ENTROPY OF AUTO-EQUIVALENCES: LOWER BOUND AND THE CASE OF ORBIFOLD PROJECTIVE LINES (2018)
  • Author(s): KIKUTA KOHEI、SHIRAISHI YUUKI、TAKAHASHI ATSUSHI
  • Journal Title: Nagoya Mathematical Journal Volume: - Pages: 86-103
  • DOI: 10.1017/nmj.2018.21
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] On the Categorical Entropy and the Topological Entropy (2017)
  • Author(s): Kikuta Kohei、Takahashi Atsushi
  • Journal Title: International Mathematics Research Notices Volume: - Issue: 2 Pages: 457-469
  • DOI: 10.1093/imrn/rnx131
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Presentation] Isometric actions of (derived) automorphism groups of K3 surfaces I and II (2 talks) (2020)
  • Author(s): Kohei Kikuta
  • Organizer: Mini Workshop on "Derived Categories of Coherent Sheaves"
  • Invited
• [Presentation] Curvature of the space of stability conditions (2019)
  • Author(s): Kohei Kikuta
  • Organizer: Interaction Between Algebraic Geometry and QFT
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Metric properties of the space of stability conditions (2019)
  • Author(s): Kohei Kikuta
  • Organizer: Mirror Symmetry and Related Topics, 2019
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 三角圏の自己同値群のCAT(0)空間への等長作用について (2019)
  • Author(s): 菊田康平
  • Organizer: 数学と諸分野の連携にむけた若手数学者交流会
• [Presentation] Entropy of Categorical dynamics(ポスター) (2018)
  • Author(s): 菊田康平
  • Organizer: String-Math 2018
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] On categorical entropy (2018)
  • Author(s): Kohei Kikuta
  • Organizer: Algebra / Algebraic Geometry seminar(The University of Sheffield)
• [Presentation] Periodic points and Categorical entropy (2018)
  • Author(s): 菊田康平
  • Organizer: 代数幾何学小研究集会
• [Presentation] Entropy of Dynamics on Derived categories (2017)
  • Author(s): Kohei Kikuta
  • Organizer: Derived category and birational geometry
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Periodic points and Categorical entropy (2017)
  • Author(s): 菊田康平
  • Organizer: 代数幾何学サマースクール２０１７
  • Invited