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有限群のベキ零部分群複体と付随するクイバーの表現

Research Project

Project/Area Number 17K05161
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Research Field Algebra
Research InstitutionChiba University

Principal Investigator

澤邉 正人  千葉大学, 教育学部, 教授 (60346624)

Project Period (FY) 2017-04-01 – 2021-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2019)
Budget Amount *help
¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000)
Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2019: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2018: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2017: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Keywords半順序集合 / 表現 / 部分群複体 / ホモロジー / 類関数 / 有限群 / 群複体
Outline of Annual Research Achievements

G を有限群とし e を単位元とする. G の部分群全体 Sgp(G) を包含関係と共にポセットと見なし, また付随するクイバーと見なす. 本研究の実績はクイバー Sgp(G) の表現を考察し, その理論の基礎を構築したことである. モデルケースは部分群 H<G に対して指標環 Z[Irr(H)] を対応させ, 包含関係 H>K(矢 H→K) に対して Z[Irr(H)] から Z[Irr(K)] への制限写像を対応させる Sgp(G) の表現である. このモデルケースには次の二つの特殊事情が付随している. 1) 逆矢 H←K に対して誘導写像を対応させることが出来る. 2) 各指標環 Z[Irr(H)] 上に内積が定義され, 制限・誘導・内積に関する相互関係としてフロベニウスの相互律が成立する.この特殊事情を含むモデルケースを次のように一般化した. 『F を可換環 R 上のクイバー Q の表現とする. 各頂点 a に対して双線形形式 ( , )_{a}:F_{a}×F_{a}→R が定義されていると仮定する. このとき Q に全ての逆矢を付け加えたクイバー Q^{ud} の表現 F^{ud} が, この形式と共にフロベニウスの相互律の関係式を満たすとき, F^{ud} を F から導かれる「群論的クイバーの表現」と呼ぶことにする. 』以上を踏まえて, 本研究の実績は「群論的クイバーの表現」の基礎を構築したことである. 特筆すべき我々のアイデアの一つは, 自然数 n と部分群 H のペアに対して H 上の方程式 X^{n}=e の解集合 L_{n}(H) に着目し, L_{n}(H) の H-類関数全体からなる C-代数 cf(L_{n}(H)) を考察の中心に置いたことである. 本研究の結果は, 現在数学専門誌に投稿中である.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

有限群の通常指標理論の鍵となる部分は, 指標環の間の①制限写像・②誘導写像、指標環上に定義された③内積、及びこれらを統括する④フロベニウスの相互律である. これら4本柱を基点に, 本研究の中で, 拡張されたポセット(クイバー)Sgp(G)×N の表現論の基礎が築かれたことの意義は大きい. 見方を変えれば, 今回の実績は, この4本柱の本質をあぶり出したことである. さらに, これはブラウアー指標環を大きく含む概念になっており, その応用範囲は格段に広がっている. この理論を用いた今後の研究の中で, 群構造の解明に向けて, 具体的な応用が期待できる. 以上の理由から, 本研究は概ね順調に進展していると判断するものである.

Strategy for Future Research Activity

令和元年度の研究成果を踏まえて, 構築した理論の具体的な応用を試みることは勿論のこと, 一方で更なる理論展開の可能性も存在する. 我々の先行研究では, 自然数 n と有限群 G に対して G 上の方程式 X^{n}=e の解集合 L_{n}(G) が重要な役割を果たしてきた. これを部分群を用いて解釈すると, 巡回部分群 H<G の集まりで, その位数が n を割り切るもの, となる. 巡回部分群 H の位数 |H| は H の指数 exp(H)(H に含まれる要素の位数の最小公倍数)と等しい. そこで, 指数が n を割り切るような部分群の族に着目するのである. この部分群族 D に関するホモトピーの性質, D をクイバーと見なしたときの表現を調べることにより, 本研究をさらに推進させていく.

Report

(3 results)
  • 2019 Research-status Report
  • 2018 Research-status Report
  • 2017 Research-status Report

Research Products

(8 results)

All 2020 2019 2017

All Journal Article Presentation

  • [Journal Article] Quiver representations, group characters, and prime graphs of finite groups2020

    • Author(s)
      Nobuo Iiyori and Masato Sawabe
    • Journal Title

      Tokyo Journal of Mathematics

      Volume: 43

    • Related Report
      2018 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Homology of the Complex of All Non-trivial Nilpotent Subgroups of a Finite Non-solvable Group2019

    • Author(s)
      Nobuo Iiyori and Masato Sawabe
    • Journal Title

      Tokyo Journal of Mathematics

      Volume: 42 Pages: 113-120

    • DOI

      10.3836/tjm/1502179264

    • Related Report
      2019 Research-status Report 2018 Research-status Report 2017 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Quiver representations, group characters, and prime graphs of finite groups.2019

    • Author(s)
      Nobuo Iiyori and Masato Sawabe
    • Journal Title

      Tokyo Journal of Mathematics

      Volume: 42 Pages: 497-523

    • DOI

      10.3836/tjm/1502179297

    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Partially ordered sets of non-trivial nilpotent π-subgroups II2017

    • Author(s)
      Nobuo Iiyori and Masato Sawabe
    • Journal Title

      Topology and its Applications

      Volume: 231 Pages: 197-218

    • DOI

      10.1016/j.topol.2017.09.011

    • Related Report
      2017 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Homology of a certain associative algebra2017

    • Author(s)
      Nobuo Iiyori and Masato Sawabe
    • Journal Title

      Hokkaido Mathematical Journal

      Volume: 46 Pages: 227-256

    • DOI

      10.14492/hokmj/1498788019

    • Related Report
      2017 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Presentation] Homology of the complex of all non-trivial nilpotent subgroups of a finite non-solvable group2019

    • Author(s)
      飯寄信保 澤邉正人
    • Organizer
      有限群のコホモロジー論とその周辺
    • Related Report
      2018 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Nilpotent π-subgroups and gluing complexes2017

    • Author(s)
      飯寄信保 澤邉正人
    • Organizer
      代数的組合せ論および有限群・頂点作用素代数とその表現の研究
    • Related Report
      2017 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] ベキ零部分群複体のホモロジーについて2017

    • Author(s)
      澤邉正人
    • Organizer
      群論特別セミナー
    • Related Report
      2017 Research-status Report

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Published: 2017-04-28   Modified: 2021-01-27  

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