Study on arithmetic geometry of crystals and etale sheaves

• Project/Area Number: 17K05162
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Algebra
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 志甫 淳 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30292204)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2025-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000); Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2019: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2018: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2017: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
• Keywords: 対数的クリスタリンコホモロジー / リジッドコホモロジー / 対数的収束コホモロジー / 対数的ド・ラーム基本群 / 対数的代数多様体 / 対数的ドラームヴィットコホモロジー / クリスタリンChern類 / ドラーム基本群 / de Rham-Wittコホモロジー / アイソクリスタル / エタール基本群 / de Rham基本群 / p進微分方程式 / de Rham-Witt複体 / 代数学 / 数論幾何学 / クリスタル / エタール層

Outline of Annual Research Achievements

昨年度までの研究で，標数p>0の完全体k上の代数多様体に対して，滑らかかつ良いコンパクト化が可能な場合は対数的クリスタリンコホモロジーと一致し，有理的にリジッドコホモロジーと一致し，有限生成W(k)加群で，cdh降下性質を満たす良い整p進コホモロジー理論を特異点解消についての強い仮定の下で構成していた．今年度は，この研究についての論文の改訂を行った．これはVeronika Ertl氏，Johannes Sprang氏との共同研究である．
また，以前構成した相対的対数的クリスタルコホモロジーの重み篩の研究を相対的対数的収束コホモロジーを用いて捉えなおした論文を執筆中である．対数的収束コホモロジーを用いることで，制限対数的クリスタリンサイトを用いる必要がなくなり，理論的に理解しやすいものとなる．今年度はこの論文の改訂作業を行った．これは中島幸喜氏との共同研究である．
また，以前執筆した標数0の対数的代数多様体の射に対する相対冪単対数的ド・ラーム基本群についての論文が出版された．これはBruno Chiarellotto氏，Valentina Di Proietto氏との共同研究である．
クリスタルの法p還元のクリスタリンChern類の消滅，過収束アイソクリスタルの圏の淡中基本群，アイソクリスタルに関するde Jong予想についてこれまでに得られた結果に対する論文の執筆，改訂を行っている．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

整p進コホモロジー理論に関する研究，対数的収束コホモロジーについては期待通りの成果が得られている．これまでコロナ禍により共同研究者との直接の議論はあまりできていなかった時期があったが，それは元に戻ってきている．これまでに得られた結果についての論文の執筆，改訂については遅れがあるが，大きな問題はない．

Strategy for Future Research Activity

国内外への出張が可能な状態にはなったが，コロナ禍の時期の影響がまだ残っていた．次年度は国内への出張を行い，研究討論，研究情報収集に努める．

Research Products

• [Int'l Joint Research] パドヴァ大学(イタリア)
• [Int'l Joint Research] デュースブルク・エッセン大学/レーゲンスブルク大学(ドイツ)
• [Int'l Joint Research] ポーランド科学アカデミー(ポーランド)
• [Int'l Joint Research] レーゲンスブルク大学/デュースブルク＝エッセン大学(ドイツ)
• [Int'l Joint Research] レーゲンスブルク大学/デュースブルク＝エッセン大学(ドイツ)
• [Int'l Joint Research] レーゲンスブルク大学(ドイツ)
• [Int'l Joint Research] パドヴァ大学(イタリア)
• [Int'l Joint Research] エクセター大学(英国)
• [Int'l Joint Research] レーゲンスブルク大学(ドイツ)
• [Int'l Joint Research] ベルリン自由大学/レーゲンスブルク大学(ドイツ)
• [Int'l Joint Research] エクセター大学(英国)
• [Int'l Joint Research] パドヴァ大学(イタリア)
• [Int'l Joint Research] カリフォルニア大学サンディエゴ校(米国)
• [Int'l Joint Research] ベルリン自由大学(ドイツ)
• [Int'l Joint Research] パドヴァ大学(イタリア)
• [Int'l Joint Research] エクセター大学(英国)
• [Journal Article] On infiniteness of integral overconvergent de Rham-Witt cohomology modulo torsion (2020)
  • Author(s): Veronika Ertl and Atsushi Shiho
  • Journal Title: Tohoku Mathematical Journal Volume: 72 Issue: 3 Pages: 395-410
  • DOI: 10.2748/tmj/1601085622
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Chern classes of crystals (2019)
  • Author(s): Helene Esnault and Atsushi Shiho
  • Journal Title: Trans. Amer. Math. Soc. Volume: 371 Issue: 2 Pages: 1333-1358
  • DOI: 10.1090/tran/7342
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Convergent isocrystals on simply connected varieties (2018)
  • Author(s): Helene Esnault and Atsushi Shiho
  • Journal Title: Ann. Inst. Fourier Volume: 68 Issue: 5 Pages: 2109-2148
  • DOI: 10.5802/aif.3204
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] On the homotopy exact sequence for log algebraic fundamental groups (2018)
  • Author(s): Valentina Di Proietto and Atsushi Shiho
  • Journal Title: Documenta Mathematica Volume: 23 Pages: 543-597
  • DOI: 10.25537/dm.2018v23.543-597
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Corrigendum: Local and global structure of connections on nonarchimedean curves (2017)
  • Author(s): K. S. Kedlaya and A. Shiho
  • Journal Title: Compositio Mathematica Volume: 153 Issue: 12 Pages: 2658-2665
  • DOI: 10.1112/s0010437x17007461
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Presentation] Chern classes of (non locally free) crystals (2022)
  • Author(s): Atsushi Shiho
  • Organizer: p-adic cohomology and arithmetic geometry 2022
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 整p進コホモロジー理論について (2021)
  • Author(s): 志甫 淳
  • Organizer: 京都大学理学部数学教室談話会
  • Invited
• [Presentation] On integral p-adic cohomology (2019)
  • Author(s): Atsushi Shiho
  • Organizer: Algebraic geometry and arithmetic geometry conference 2019
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] On integral p-adic cohomology (2019)
  • Author(s): Atsushi Shiho
  • Organizer: Over and around sites in characteristic p, in honor of Bernard Le Stum
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] On the finiteness problem of integral overconvergent de Rham-Witt cohomology modulo torsion (2019)
  • Author(s): Atsushi Shiho
  • Organizer: Workshop on arithmetic geometry Tokyo-Princeton at Komaba
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] On relative log de Rham-Witt complex (2018)
  • Author(s): Atsushi Shiho
  • Organizer: Arithmetic Geometry and de Rham Theory
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] On de Jong conjecture (2018)
  • Author(s): Atsushi Shiho
  • Organizer: F-isocrystals and families of algebraic varieties
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Overconvergence and examples (2018)
  • Author(s): Atsushi Shiho
  • Organizer: F-isocrystals and families of algebraic varieties
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] On de Jong conjecture (2018)
  • Author(s): Atsushi Shiho
  • Organizer: Arithmetic Geometry: l-adic and p-adic aspects
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] On relative log de Rham-Witt complex (2018)
  • Author(s): Atsushi Shiho
  • Organizer: Arithmetic and Algebraic Geometry -- A conference in honor of Ofer Gabber on the occasion of his 60th birthday
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Remarks on p-adic Fuchs theorem and p-adic local monodromy theorem (2018)
  • Author(s): 志甫 淳
  • Organizer: 東北大学代数セミナー
  • Invited
• [Presentation] Comparison of relatively unipotent log de Rham fundamental groups (2017)
  • Author(s): 志甫 淳
  • Organizer: p進コホモロジーと数論幾何学2
  • Invited
• [Presentation] On de Jong conjecture (2017)
  • Author(s): Atsushi Shiho
  • Organizer: p-adic Cohomology and Arithmetic Applications
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] エタール層とアイソクリスタル (2017)
  • Author(s): 志甫 淳
  • Organizer: 第62回代数学シンポジウム
  • Invited
• [Presentation] Comparison of relatively unipotent log de Rham fundamental groups (2017)
  • Author(s): Atsushi Shiho
  • Organizer: Fukuoka International Conference on Arithmetic Geometry 2017
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Book] Comparison of Relatively Unipotent Log de Rham Fundamental Groups (2023)
  • Author(s): Bruno Chiarellotto, Valentina Di Proietto and Atsushi Shiho
  • Total Pages: 111
  • Publisher: Memoirs of the American Mathematical Society
  • ISBN: 9781470467067
• [Funded Workshop] Around p-adic cohomologies (2022)
• [Funded Workshop] p-adic cohomology and arithmetic geometry 2019 (2019)
• [Funded Workshop] p-adic cohomology and arithmetic geometry 2018 (2018)