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Existence problem of conformally Kahler Einstein-Maxwell metrics

Research Project

Project/Area Number 17K05218
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Research Field Geometry
Research InstitutionUniversity of Tsukuba (2020-2023)
Saitama University (2017-2019)

Principal Investigator

小野 肇  筑波大学, 数理物質系, 教授 (70467033)

Project Period (FY) 2017-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2019: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2018: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2017: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Keywords共形ケーラーアインシュタイン・マックスウェル計量 / Bott 多様体 / 共形ケーラーアインシュタイン・マックスウエル計量 / 幾何学
Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は、Apostolov-Maschler により定義された共形ケーラーアインシュタイン・マックスウエル計量(以下cKEM 計量と呼ぶ)の存在問題を、従来のケーラー幾何的な手法に加え、佐々木幾何の研究により培った視点に基づき進展させることである。

ケーラー幾何(佐々木幾何)において最も重要な問題の1つにYau-Tian-Donaldson 予想(標準ケーラー計量の存在と代数幾何的な条件(K-poly 安定性)との同値性)が挙げられる。cKEM 計量も標準ケーラー計量の1つと考えられ、本研究を申請した当時はcKEM 版のYau-Tian-Donaldson 予想はほぼ未解決の問題であった。その後、Apostolov やLahdili らを中心としたグループにより、cKEM 計量をより一般化した対象に対してこの予想の解決は大きく進展した。しかしながら、K-poly 安定性の判定は予想とは全く別の問題であり、いまだにcKEM 計量版K-poly 安定および不安定な例についてはほとんどわかっていない。令和2年度にトーリック曲面に対して、cKEM 版(より一般の)K-poly 安定性の使いやすい判定条件を清華大学の二木昭人氏とともに与えたが、本年度はそれを用いてcKEM 版K-poly 安定なトーリック曲面やcKEM 版K-poly 不安定な例をできるだけ多く見つけることを目指し研究を行った。また、それと並行して、福岡大学の佐野友二氏、香川大学の四ツ谷直人氏と共同で、全てのケーラー類で二木不変量が消えるBott 多様体は射影直線の直積に限ることを示した。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

当初の計画では、最終年度である本年度は、cKEM 計量版のYau-Tian-Donaldson 予想を解決し、このプロジェクトで得られた結果を取りまとめ、成果の発表を行う予定であった。Apostolov やLahdili らのグループにより大きな進展はあったものの、その予想を解決するには至らなかった。令和2年度に我々が得たcKEM 計量版K-poly 安定性の判定条件を駆使して多くのK-poly 安定な例、不安定な例を得ることを目指したが、計算がうまくいかなかった。一方、標準ケーラー計量の存在がBott 多様体の中から射影直線の直積を特定する現象を解明した。

Strategy for Future Research Activity

まず、令和5年度に解決できなかった課題(トーリック多様体においてcKEM 計量版のK-安定性の使いやすい判定条件を用いて多くのcKEM 計量の例を得ること)に引き続き取り組む予定である。また、高次の曲率不変量を含む変形重力理論である「Lovelock 理論」や「Horndeski 理論」を(共形)ケーラー幾何において研究することも考えている。

Report

(7 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • 2021 Research-status Report
  • 2020 Research-status Report
  • 2019 Research-status Report
  • 2018 Research-status Report
  • 2017 Research-status Report
  • Research Products

    (14 results)

All 2021 2020 2019 2018 2017

All Journal Article (6 results) (of which Peer Reviewed: 3 results) Presentation (8 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 8 results)

  • [Journal Article] Cahen-Gutt moment map, closed Fedosov star product and structure of the automorphism group2020

    • Author(s)
      Akito Futaki , Hajime Ono
    • Journal Title

      Journal of Symplectic Geometry

      Volume: 18 Issue: 1 Pages: 123-145

    • DOI

      10.4310/jsg.2020.v18.n1.a3

    • Related Report
      2020 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] On the existence problem of Einstein-Maxwell Kahler metrics2020

    • Author(s)
      Akito Futaki, Hajime Ono
    • Journal Title

      Progress in Mathematics

      Volume: 333 Pages: 93-111

    • Related Report
      2020 Research-status Report
  • [Journal Article] Geometric nonlinear problems and GIT stability through moment maps2020

    • Author(s)
      Akito Futaki, Hajime Ono
    • Journal Title

      Advanced Studies in Pure Mathematics

      Volume: 85 Pages: 105-114

    • Related Report
      2020 Research-status Report
  • [Journal Article] 共形ケーラーアインシュタイン・マックスウェル計量およびその一般化について2020

    • Author(s)
      小野 肇
    • Journal Title

      京都大学数理解析研究所講究録

      Volume: 2145 Pages: 69-77

    • Related Report
      2019 Research-status Report
  • [Journal Article] Conformally Einstein-Maxwell Kahler metrics and structure of the automorphism group2019

    • Author(s)
      Akito Futaki, Hajime Ono
    • Journal Title

      Mathematische Zeitschrift

      Volume: 292 Issue: 1-2 Pages: 571-589

    • DOI

      10.1007/s00209-018-2112-3

    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Volume minimization and conformally Kähler, Einstein–Maxwell geometry2018

    • Author(s)
      Akito Futaki, Hajime Ono
    • Journal Title

      Journal of the Mathematical Society of Japan

      Volume: 70 Issue: 4 Pages: 1493-1521

    • DOI

      10.2969/jmsj/77837783

    • NAID

      130007501727

    • ISSN
      0025-5645, 1881-1167, 1881-2333
    • Related Report
      2018 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] 共形ケーラー, アインシュタイン・マックスウェル計量の基礎2021

    • Author(s)
      小野 肇
    • Organizer
      The 4th workshop on "Mathematics and Physics in General Relativity"
    • Related Report
      2020 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] 共形ケーラーアインシュタイン・マックスウェル計量およびその 一般化について2019

    • Author(s)
      小野 肇
    • Organizer
      RIMS 共同研究 (公開型) 「部分多様体論の諸相と他分野との融合」
    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] 共形ケーラーアインシュタイン・マックスウェル計量の存在問題について2018

    • Author(s)
      小野肇
    • Organizer
      第65回幾何学シンポジウム
    • Related Report
      2018 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] モーメント写像と標準計量2018

    • Author(s)
      小野肇
    • Organizer
      幾何学阿蘇研究集会
    • Related Report
      2018 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] 共形ケーラーアインシュタイン・マックスウェル計量の1つの一般化について2018

    • Author(s)
      小野肇
    • Organizer
      2018年度福岡大学微分幾何研究集会
    • Related Report
      2018 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] Conformally Kaehler Einstein-Maxwell metrics and volume minimization2017

    • Author(s)
      Hajime Ono
    • Organizer
      Trends in Modern Geometry 2017
    • Related Report
      2017 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 共形ケーラーアインシュタイン・マックスウェル計量の体積最小性について2017

    • Author(s)
      小野肇
    • Organizer
      広島幾何学研究集会2017
    • Related Report
      2017 Research-status Report
    • Invited
  • [Presentation] 共形ケーラーアインシュタイン・マックスウェル計量の存在問題について2017

    • Author(s)
      小野肇
    • Organizer
      2017年度福岡大学微分幾何研究集会
    • Related Report
      2017 Research-status Report
    • Invited

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Published: 2017-04-28   Modified: 2024-12-25  

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