一般の安定ホモトピー論における余加群の研究

• Project/Area Number: 17K05253
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Okayama University
• Principal Investigator: 鳥居 猛 岡山大学, 環境生命自然科学学域, 教授 (30341407)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2025-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥4,680,000 (Direct Cost: ¥3,600,000、Indirect Cost: ¥1,080,000); Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2019: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2018: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2017: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
• Keywords: 安定ホモトピー論 / クロマティックホモトピー論 / 無限大圏 / モノイダル圏 / ラックスモノイダル関手 / オペラッド / モノイデイル / 無限大双圏 / Morava E理論オペラッド / 表現のモジュライ / 双代数 / ホップ亜代数 / 余加群 / 淡中随伴 / En代数 / 余代数 / Enモノイド / Hopf亜代数 / quasi-category / Morava K理論 / Morava E理論 / Morava安定化群 / 導来代数幾何

Outline of Annual Research Achievements

安定ホモトピー論やクロマティックホモトピー論に現れるHopf亜代数やその上の余加群の圏を無限大圏に持ち上げることを動機として、デュオイダル無限大圏や無限大双圏の中の捻られた射の無限大圏について研究を行い、以下の成果を得た。
無限大オペラッドOに対してOモノイダル無限大双圏Zを考える。Zの中の左随伴1射で張られる部分双圏をZ^Lとするとき、Z^LはZのOモノイダル部分双圏になり、その下にある無限大圏もOモノイダル構造をもつ。Z^LのO代数対象Mを考えると、これは古典的なマップモノイデイルに対応する。このとき、Mから自分自身への射の成す無限大圏End(M)には、射の合成から入る結合的モノイダル構造と、畳み込みから入るOモノイダル構造の２つのモノイダル構造が入り、End(M)がこの２つのモノイダル構造に関して、デュオイダル無限大圏をなすことを示した。
また上の結果を示すために、捻じれられた射の無限大圏について考察し、その単純なモデルを与えた。無限大双圏の中の捻られた射の無限大圏はAbellan GarciaとSternにより定義された。その構成には余単体的scaled単体的集合を用いるが、そのn番目のscaled単体的集合の下にある単体的集合は(2n+1)次元単体と同型になる。今回与えたモデルでは、このscalingの入った(2n+1)次元単体の(n+1)次元部分複体を考えることにより余単体的scaled単体的集合を構成し、Abellan GarciaとSternと同様の構成を行うことにより、無限大双圏の中の捻られた射の無限大圏と同様な性質をもつ無限大圏を得た。また、自然な包含写像が誘導する射により、2つの構成が同値な無限大圏を与えることを示した。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

余加群モデルのなす無限大圏を用いて局所化された安定ホモトピー論の間の関係を調べる研究を継続しているが、まだ具体的な結果が得られるまでには至っていない。このことが現在までの進捗状況はやや遅れていると判断する理由である。

Strategy for Future Research Activity

具体的な状況に理論を適用する研究を継続する。局所化された安定ホモトピー論の間の関係について、余加群スペクトラムおよび離散スペクトラムのなす無限大圏を用いた研究を継続する。

Research Products

• [Journal Article] A perfect pairing for monoidal adjunctions (2023)
  • Author(s): Torii Takeshi
  • Journal Title: Proceedings of the American Mathematical Society Volume: 151 Pages: 5069-5080
  • DOI: 10.1090/proc/16460
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Applications of Hochschild cohomology to the moduli of subalgebras of the full matrix ring (2023)
  • Author(s): Nakamoto Kazunori, Torii Takeshi
  • Journal Title: Journal of Pure and Applied Algebra Volume: 227 Issue: 11 Pages: 107426-107426
  • DOI: 10.1016/j.jpaa.2023.107426
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] On graded E_∞-rings and projective schemes in spectral algebraic geometry (2022)
  • Author(s): Ohara Mariko, Torii Takeshi
  • Journal Title: Journal of Homotopy and Related Structures Volume: 17 Issue: 1 Pages: 105-144
  • DOI: 10.1007/s40062-021-00298-0
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] On Quasi-Categories of Comodules and Landweber Exactness (2020)
  • Author(s): Torii Takeshi
  • Journal Title: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics Volume: 309 Pages: 325-380
  • DOI: 10.1007/978-981-15-1588-0_11
  • ISBN: 9789811515873, 9789811515880
  • Peer Reviewed
• [Presentation] A mate correspondence for ∞-bicategories (2024)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 「非可換代数幾何学の大域的問題とその周辺」高知小研究集会
• [Presentation] A mate correspondence for ∞-bicategories (2023)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 高知ホモトピー論談話会2023
  • Invited
• [Presentation] E_n代数のKoszul双対性 (2022)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 「非可換代数幾何学の大域的問題とその周辺」高知小研究集会
• [Presentation] Uniqueness of monoidal adjunctions (2022)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 高知ホモトピー論談話会
  • Invited
• [Presentation] On higher monoidal ∞-categories (2021)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 京都・九州・信州合同トポロジーセミナー
  • Invited
• [Presentation] Factorization homology 入門 (2021)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 「非可換代数幾何学の大域的問題とその周辺」高知小研究集会
• [Presentation] On the spectral moduli stack of oriented formal groups (2021)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 高知ホモトピー論談話会
  • Invited
• [Presentation] On duoidal infinity-categories (2020)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: ホモトピー論シンポジウム
  • Invited
• [Presentation] En 代数の変形と Hochschild cohomology (II) (2020)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 「非可換代数幾何学の大域的問題とその周辺」高知小研究集会
• [Presentation] Duoidal infinity-categories and Hopf algebroids (2019)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 研究集会「ホモトピー沖縄」
  • Invited
• [Presentation] En 代数の変形と Hochschild cohomology (2019)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 「非可換代数幾何学の大域的問題とその周辺」高知小研究集会
• [Presentation] On duoidal infinity-categories (2019)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 高知ホモトピー論談話会
  • Invited
• [Presentation] E_n淡中随伴について (2019)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 新居浜代数トポロジーワークショップ
  • Invited
• [Presentation] A model for the K(n)-local stable homotopy category (2018)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: Chromatic Homotopy Theory, Journey to the Frontier
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] ∞圏における淡中随伴について (2018)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 研究集会「ホモトピー沖縄」
  • Invited
• [Presentation] ∞圏における余加群と淡中随伴について (2018)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 福岡大学月曜トポロジーセミナー
  • Invited
• [Presentation] 離散GスペクトラムとK(n)局所安定ホモトピー圏のモデルについて (2018)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 東京大学トポロジー火曜セミナー
  • Invited
• [Presentation] En代数: 可換性と結合性の間 (2018)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 「非可換代数幾何学の大域的問題とその周辺」高知小研究集会
  • Invited
• [Presentation] ∞圏における淡中随伴について (2018)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 高知ホモトピー論談話会
• [Presentation] quasi-category入門 (2018)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 山梨大学数学セミナー
• [Presentation] K(n)-local categoryのモデルについて (2017)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 第64回トポロジーシンポジウム
  • Invited
• [Presentation] The versal commutative S-algebra of characteristic p (2017)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 新居浜代数トポロジーワークショップ
  • Invited
• [Presentation] A model for the K(n)-local stable homotopy category (2017)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 第44回変換群論シンポジウム
  • Invited
• [Presentation] Introduction to quasi-categories (2017)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 「非可換代数幾何学の大域的問題とその周辺」高知小研究集会
  • Invited
• [Presentation] Notes on bimodules in enriched infinity-categories (2017)
  • Author(s): 鳥居 猛
  • Organizer: 高知ホモトピー論談話会 2017
  • Invited