Rigidity and flexibility of actions of infinite discrete groups on the circle

• Project/Area Number: 17K05260
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Aoyama Gakuin University
• Principal Investigator: Matsuda Yoshifumi 青山学院大学, 理工学部, 准教授 (60549294)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2024-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000); Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2019: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2018: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2017: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
• Keywords: 円周への群作用 / 剛性 / フックス群 / 有界オイラー数 / 葉層調和測度 / 回転数 / 群作用の力学系 / 円的順序 / 群作用の剛性と柔軟性 / ２次元軌道体群

Outline of Final Research Achievements

We study rigidity properties of actions of surface on the circle. We follow the approaches of Frankel and Thurston proposed via foliated harmonic measures on the suspension bundles. Our main result is a curvature estimate and a Gauss-Bonnet formula for the principal connection obtained by taking the average of the flat connection with respect to a harmonic measure. As consequences, we give a precise description of the harmonic measure on suspension foliations with maximal bounded Euler number and an alternative proof of rigidity theorems of Matsumoto and Burger-Iozzi-Wienhard.

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

曲面群の円周へのフックス作用の剛性はこれまでに知られていたが、葉層調和測度を用いた
別証明が得られたことにより、この事実のより深い理解が得られたと考えられる。また、その過程で、多くの葉層に対して存在が保証されているものの具体的に表示することは困難であるなど取り扱いが容易でない葉層調和測度について、その性質の解明および応用ができ、葉層の研究において葉層調和測度の有用性を示した点でも意義があるものと考えられる。

Research Products

• [Presentation] Harmonic measures and rigidity for surface group actions on the circle (2023)
  • Author(s): 松田能文
  • Organizer: リーマン面に関連する位相幾何学
  • Invited