| Project/Area Number |
17K05296
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Research Field |
Basic analysis
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
木坂 正史 京都大学, 人間・環境学研究科, 准教授 (70244671)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2021: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2020: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2019: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2018: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2017: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
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| Keywords | 超越整関数 / 構造有限超越整関数 / 中立サイクル / Siegel点 / Cremer点 / 多項式類似写像 / Julia集合 / Siegel円板 / Fatou成分 / Fatou-宍倉不等式 / 有限型超越整関数 / Fatou集合 / Sierpinskiカーペット / Mandelbrot集合 / 擬等角写像 / 複素解析 / 複素力学系 / 多項式 / 函数論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当初の計画中の（I)「個々の超越整関数の力学系の多様性について」と（II)「整関数の（自然な）パラメータ族の中での多様性」に関する研究を行った．得られた結果は以下の通りである：Speiserクラスの中でも特に具体表示を持つ「f(z)=P(z)e^Q(z)（P(z)，Q(z)は多項式）」という型の超越整関数について，特に中立サイクルを持つ場合の様々な可能性について研究した．
（1）任意の自然数qに対して，原点以外にq個のSiegel不動点を持ち，対応する各Siegel円板の境界が擬円となり，しかも臨界点を少なくとも1個ずつ含むようなものを構成した．更に各Siegel円板の境界上の臨界点の個数がちょうど1個となるようなものも構成した．
（2）任意の自然数qに対して，Cremer点をq個持ち，各Cremer点での乗数が[Cremer(d)]と呼ばれる条件を満たすようなものを構成した（dは構成する際に定まるある自然数）．なおこの条件はd次多項式の中立サイクルがCremer点であることを保証するものであるが，超越整関数に対しては一般に適用できない．
（3）乗数がEというあるクラス（Diophantus数を含み，Bryuno数全体に含まれるもの）に含まれるような中立不動点を持つ超越整関数の1-parameter族で，Julia集合のLebesgue測度が0となるparameterが開集合を含むようなものを構成した．
（1）～（3）の結果の証明の主なアイデアは「考えている関数を適当な有界単連結領域に制限すると多項式類似写像の構造を持つことを示す」というものである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初主目的としていた２次多項式族に関する研究には，初年度以降にはあまり進展が見られていない．また超越整関数のJulia集合の計量的性質に関する研究については，考察はしているもののまだ目立った成果が上げられていない．整関数の族の中での多様性についてはパラメーター空間の研究にまでは至っていないが，過去の成果に引き続いて上記の実績の概要で述べたような成果は上がっている．全体的にはまだ満足のいくところまでは到達していない．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も主目的である２次多項式族に関する研究は依然継続しつつ，超越整関数の力学系の研究，特に有限型超越整関数の力学系の多様性について引き続き考察したい．場合によっては超越有理型までクラスを広げて考える方が良いと考えている．またJulia集合の位相的性質・計量的性質の研究も引き続き行う．また課題解決の考察をしているうちに他のおもしろい現象や新たな問題を発見することも十分考えられる．当初の実施計画にあるもののみを考察するようなことはせず，このような発見があった場合は臨機応変に対応する予定である．
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Report
(6 results)
Research Products
(17 results)
