電磁場内にある多体量子力学系の数理解析

• Project/Area Number: 17K05319
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Mathematical analysis
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 足立 匡義 京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (30281158)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2025-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥4,680,000 (Direct Cost: ¥3,600,000、Indirect Cost: ¥1,080,000); Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2019: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2018: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2017: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
• Keywords: 散乱理論 / スペクトル理論 / 電磁場 / シュレーディンガー作用素 / 時間周期的なポテンシャル / 解析学 / 関数解析学 / 数理物理 / ドリフト運動 / 多体量子力学系 / 時間周期的ポテンシャル

Outline of Annual Research Achievements

研究代表者単独での研究となるが、時間周期的なポテンシャルをもつ３体シュレーディンガー作用素に付随する３体Floquetハミルトニアンに対するMourre評価の証明に取り組んだ。これは数年前にも挑戦した課題である。２体Floquetハミルトニアンに対するconjugate operatorとしては、1998年のYokoyamaによるものと、2019年のAdachi（研究代表者）-Kiyoseによるものが知られている。それらをうまく貼り合わせれば３体系に対してもconjugate operatorを構成することができる、というアイデア自体は変わっていない。自由チャネルに対するconjugate operatorとして、それまでは自由チャネルを取り扱うのに相応しいと考えられるYokoyamaによるものを採用していたのであるが、今回それをAdachi-Kiyoseによるものに取り替えた、というのが大きな変更点である。これにより、貼り合わせから生じる誤差項のコンパクト性がより自然に示されるようになり、証明の見通しも立ちやすくなった。新たなconjugate operatorで得られたMourre評価を用いて、最小速度評価の証明も与えた。これより先、最小速度評価に基づく漸近クラスタリングの証明を与えることが主要な課題となる。漸近クラスタリングと、２体系の漸近完全性の結果を組み合わせれば、懸案となっていた３体系の漸近完全性の証明が得られるからである。先に述べた結果を公表するべく、学術雑誌に論文を投稿して現在査読を受けている。
ついでながら、研究代表者が指導している大学院生との共同研究に基づいて昨年度に執筆した３篇の共著論文はいずれも、ブラッシュアップを経て国際学術雑誌に掲載される予定となったことを報告する。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

上記の３体Floquetハミルトニアンに対するMourre評価の証明において難所であるとこれまで考えられてきたのは、そのハミルトニアンとconjugate operatorとの交換子を計算する際に現れる、貼り合わせのための単位の分解からの誤差項のコンパクト性を示すことである。今回conjugate operatorの定義を思い切って変えたことで、障害となっていた箇所が概ね取り払われた、と考えているからである。

Strategy for Future Research Activity

時間周期的なポテンシャルをもつ３体シュレーディンガー作用素に対する散乱順問題の１つとして、波動作用素の漸近完全性の問題に取り組む。上に述べたように、最小速度評価自体は得られているので、それに基づいて漸近クラスタリングを示すことを当面の目標とする。定常的なシュレーディンガー作用素の場合と違って、Floquetハミルトニアンに対する最大速度評価の成立は期待できず、その評価に替わるものを提示することが喫緊の課題となる。

Research Products

• [Journal Article] On spectral and scattering theory for one-body quantum systems in crossed constant electric and magnetic fields (2024)
  • Author(s): Adachi Tadayoshi、Tsujii Yuta
  • Journal Title: Reviews in Mathematical Physics Volume: - Issue: 06
  • DOI: 10.1142/s0129055x24500119
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] On multidimensional inverse scattering under the time-dependent Stark effect (2024)
  • Author(s): Adachi Tadayoshi、Tsujii Yuta
  • Journal Title: Kyushu Journal of Mathematics Volume: -
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] On multidimensional inverse scattering under the Stark effect (2024)
  • Author(s): Adachi Tadayoshi、Tsujii Yuta
  • Journal Title: Hiroshima Mathematical Journal Volume: -
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Stationary scattering theory for one-body Stark operators, I (2022)
  • Author(s): T. Adachi, K. Itakura, K. Ito and E. Skibsted
  • Journal Title: Pure and Applied Functional Analysis Volume: 7 Pages: 825-861
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] New methods in spectral theory of N-body Schrodinger operators (2021)
  • Author(s): Adachi T.、Itakura K.、Ito K.、Skibsted E.
  • Journal Title: Reviews in Mathematical Physics Volume: 33 Issue: 05 Pages: 2150015-2150015
  • DOI: 10.1142/s0129055x2150015x
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Spectral theory for 1-body Stark operators (2020)
  • Author(s): Adachi T., Itakura K., Ito K., Skibsted E.
  • Journal Title: Journal of Differential Equations Volume: 268 Issue: 9 Pages: 5179-5206
  • DOI: 10.1016/j.jde.2019.11.006
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] On the Mourre estimates for Floquet Hamiltonians (2019)
  • Author(s): Tadayoshi Adachi and Amane Kiyose
  • Journal Title: Letters in Mathematical Physics Volume: 109 Issue: 11 Pages: 2513-2529
  • DOI: 10.1007/s11005-019-01191-x
  • NAID: 120006764430
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Remarks on the Avron-Herbst type formula for $N$-body quantum systems in constant electric and magnetic fields (2019)
  • Author(s): Tadayoshi Adachi and Amane Kiyose
  • Journal Title: New Horizons in Mathematical Physics Volume: 3 Issue: 1 Pages: 1-12
  • DOI: 10.22606/nhmp.2019.31001
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Presentation] On multidimensional inverse scattering under the time-dependent Stark effect (2022)
  • Author(s): 足立匡義
  • Organizer: 量子散乱における順問題と逆問題の新展開
  • Invited
• [Presentation] On spectral and scattering theory for one-body quantum systems in crossed constant electric and magnetic fields (2022)
  • Author(s): 足立匡義
  • Organizer: 量子散乱における順問題と逆問題の新展開
  • Invited
• [Presentation] On the Mourre estimates for three-body Floquet Hamiltonians (2020)
  • Author(s): Tadayoshi Adachi
  • Organizer: Schroedinger Operators and Related Topics
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Remarks on the Avron-Herbst type formula for $N$-body quantum systems in constant electric and magnetic fields (2018)
  • Author(s): 足立匡義
  • Organizer: 神楽坂解析セミナー
  • Invited
• [Presentation] Quantum scattering in spatially homogeneous electromagnetic fields (2018)
  • Author(s): 足立匡義
  • Organizer: 研究集会「微分方程式の総合的研究」
  • Invited
• [Presentation] On quantum scattering in time-dependent electromagnetic fields (2018)
  • Author(s): 足立匡義
  • Organizer: Workshop on Spectral and Scattering Theory
  • Invited
• [Presentation] On quantum scattering in time-dependent electromagnetic fields (2017)
  • Author(s): 足立匡義
  • Organizer: Tosio Kato Centennial Conference
  • Invited
• [Presentation] 定電磁場内の量子力学系に対する Avron-Herbst 型 公式について (2017)
  • Author(s): 足立匡義
  • Organizer: 第2回ひこね解析セミナー
  • Invited
• [Presentation] 定電磁場内の量子力学系に対する Avron-Herbst 型 公式について (2017)
  • Author(s): 足立匡義
  • Organizer: 応用解析研究会
  • Invited