Visible actions on spherical homogeneous spaces and applications to non-commutative harmonic analysis

• Project/Area Number: 17K14155
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Research Field: Algebra
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: Tanaka Yuichiro 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特任助教 (70780063)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2020-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2019)
• Budget Amount: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000); Fiscal Year 2019: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2018: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2017: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
• Keywords: リー群 / 可視的作用 / 非可換調和解析 / 無重複表現 / 球等質空間 / 等質空間 / カルタン分解 / 球多様体 / コンパクトリー群 / コイソトロピック作用

Outline of Final Research Achievements

In the first year I studied visible actions of compact Lie groups from the viewpoint of symplectic geometry. The theory of visible actions on complex manifolds has been introduced by T. Kobayashi with the aim of uniform treatment of multiplicity-free representations of Lie groups. I proved the equivalence of visibility and coisotropicity for actions of compact Lie groups under the Hamiltonian setting.
In the second year I studied the Cartan decomposition. From the viewpoints of harmonic analysis on homogeneous spaces and branching problems for representations of real reductive groups, Kobayashi introduced a conjecture on the Cartan decomposition for real spherical subgroups in the 3rd Summer School on Number Theory 1995. I proved that Kobayashi's conjecture is true in general.
In the third year I extended the symmetry of spherical functions and Helgason Fourier transform to reductive Riemannian Gelfand pairs.

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

1年目の研究成果は、笹木集夢氏による先行研究における線型作用の場合の結果（2009～2011年）の拡張になっている。
次の2年目の研究成果は小林俊行氏による実球等質空間に対する予想（1995年）のうちの1つに対する肯定的解決を与えており、またM. Flensted-Jensen氏（1978年）とW. Rossmann氏（1979年）による実簡約型対称対の場合の拡張になっている。
最後の3年目の研究成果は、リーマン対称対に対し知られていた非可換調和解析の結果の簡約型Gelfand対に対する拡張になっている。

Research Products

• [Journal Article] A Cartan decomposition for a reductive real spherical homogeneous space (2019)
  • Author(s): Yuichiro Tanaka
  • Journal Title: Kyoto Journal of Mathematics Volume: -
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Visible actions of compact Lie groups on complex spherical varieties (2019)
  • Author(s): Yuichiro Tanaka
  • Journal Title: Journal of Differential Geometry Volume: -
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] 複素球多様体へのコンパクトリー群による可視的作用について (2019)
  • Author(s): 田中雄一郎
  • Journal Title: 数理解析研究所講究録 Volume: 2139 Pages: 37-49
• [Presentation] A Cartan decomposition for a reductive real spherical homogeneous space (2019)
  • Author(s): Yuichiro Tanaka
  • Organizer: 6th Tunisian-Japanese Conference
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 複素球多様体への可視的作用とその応用 (2019)
  • Author(s): 田中雄一郎
  • Organizer: 日本数学会2019年度秋季総合分科会
  • Invited
• [Presentation] 複素球多様体へのコンパクトリー群による可視的作用について (2019)
  • Author(s): 田中雄一郎
  • Organizer: 表現論とその周辺分野の進展
• [Presentation] 簡約型実球部分群に対するカルタン分解 (2019)
  • Author(s): 田中雄一郎
  • Organizer: 2018年度表現論ワークショップ
• [Presentation] Visible actions of compact Lie groups on Hamiltonian manifolds (2018)
  • Author(s): 田中雄一郎
  • Organizer: 2017年度表現論ワークショップ
  • Invited
• [Presentation] 球等質空間に対する松木分解と球関数の構成 (2018)
  • Author(s): 田中雄一郎
  • Organizer: 龍谷表現論セミナー
  • Invited
• [Presentation] Visible actions of compact Lie groups on complex spherical varieties (2017)
  • Author(s): Yuichiro Tanaka
  • Organizer: 5th Tunisian-Japanese Conference
  • Int'l Joint Research / Invited