実解析的微分同相群の研究

• Project/Area Number: 18654008
• Research Category: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Geometry
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 坪井 俊 The University of Tokyo, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40114566)
• Project Period (FY): 2006 – 2008
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2008)
• Budget Amount: ¥3,200,000 (Direct Cost: ¥3,200,000); Fiscal Year 2008: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000); Fiscal Year 2007: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2006: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
• Keywords: 微分同相群 / 実解析関数 / ファイブレーション / 多重葉層 / 複素解析 / 葉層構造 / 横断性 / 完全群 / 完合群

Research Abstract

実解析的多様体、実解析的な写像に関しての基礎研究の後、実解析的葉層構造の研究を行った。さらに実解析的微分同相群の研究を行った。特に、いくつかの実解析的葉層が横断的に交わる場合について、多様体の微分同相の葉層の葉を保存する微分同相への分解を定式化し証明した。実解析的ファイブレーションを実解析的に摂動して、実解析的部分多様体の外では横断的ファイブレーションとなるように出来るかどうかの検討を行い、円周によるファイブレージョンの場合には正しいことを示した。ファイブレーションが横断的でなくなる場合についての詳細な検討を行った。デオファントス的な実解析的回転の摂動に関するアーノルドの定理を、同心円を保つ実解析的回転の摂動に対して定式化し、証明した。
これらの研究を総合して、次の結果を得た。
円周束構造を持つ多様体および円周の特殊半自由作用を持つ多様体、円周作用を持つ2次元、3次元の多様体に対して、恒等写像の連結成分の群は完全群である。
30年前にエルマンがトーラスに対して恒等写像の連結成分の群は単純群であることを示して以来、恒等写像の連結成分の群が完全群となる他の多様体は知られていなかった。我々の結果は、これからの実解析的微分同相群の研究の基礎となる重要な結果であると考えている。

Research Products

• [Journal Article] Codimension one minimalfoliations and fundamental groups of leaves (2008)
  • Author(s): T, Yokoyama and T. Tsuboi
  • Journal Title: Annale de I' Institut Fourier 58 Pages: 723-731
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] On the simplicity of the group of contactomorphisms (2008)
  • Author(s): Takashi Tsuboi
  • Journal Title: Advanced Studies in Pure Math. 52 Pages: 491-504
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] On the uniform perfectness of diffeomorphism groups (2008)
  • Author(s): Takashi Tsuboi
  • Journal Title: Advanced Studies in Pure Math. 52 Pages: 505-524
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] On the group of foliation preserving diffeomorphisms (2006)
  • Author(s): Takashi Tsuboi
  • Journal Title: Foliations 2005, Lodz, World Scientific, Singapore Pages: 411-430
• [Presentation] 多様体の微分同相群 (2008)
  • Author(s): 坪井俊
  • Organizer: 日本数学会秋季総合分科会、総合講演
  • Place of Presentation: 東京工業大学
  • Year and Date: 2008-09-25
• [Book] 幾何学III 微分形式 (2008)
  • Author(s): 坪井俊
  • Total Pages: 248
  • Publisher: 東大出版会