Orbifold上の仮想balanced計量の研究

• Project/Area Number: 18654011
• Research Category: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 満渕 俊樹 Osaka University, 大学院・理学研究科, 教授 (80116102)
• Project Period (FY): 2006 – 2008
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2008)
• Budget Amount: ¥3,200,000 (Direct Cost: ¥3,200,000); Fiscal Year 2008: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000); Fiscal Year 2007: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2006: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
• Keywords: Orbifold / balanced計量 / 漸近安定性 / 複素多様体 / 複素解析幾何 / 幾何学 / 特異点 / Kahler-Einstein計量 / 漸近的ベルグマン核 / orbifold / 一般的代数曲線 / Hitchin-Kobayashi対応 / Gieseker / S.Zhang / Donaldson

Research Abstract

Donaldsonは、定スカラー曲率ケーラー計量を偏極類の中にもつ非特異代数多様体が(正の次元の線形群の作用をもたないならば)漸近的安定であるという著しい結果を得ました。これがorbifold に対しても成り立つかどうかはZhangの結果からorbifold上にbalanced計量に相当するもの(これを仮想balanced計量とよぶ)をうまく設定できるかどうかにかかっています。ただorbifold計量は、特異点のまわりでbalanced計量(より一般的にはFubini-Study計量)と乘離してしまうので非常な困難性が伴ってきます。これを克服する方法として、漸近的安定性を、従来のChow安定ないしは〓dilbert安定性ではなくて.K-安定性を考えて打開するという方向性が見えてきました。K-安定性で考えれば、orbifold計量への移行による乘離の度合が非常に少ないからです。本年度は本研究課題の最終年度としてこのK-安定性の問題を集中的に考察しました。特にDonaldson-Tian-You's Conjectureのうちの。「定スカラー曲率ケーラー計量を持つ偏極代数多様体はK-安定であろう」という部分を組織的に研究し、肯定的解決が得られたと言える.段階にまで到達しました。
現在は詳しい検証を繰り返し行っております。こうして得られた結果は2008年6月にパリのアンリポアンカレ研究所での"Ricci cuvatwre and complex geometry"という国際研究集会で“K-polysta〓ility for CSC polarijation"という標題で発表しました。

Research Products

• [Journal Article] An energy-theoretic approach to the Hitchin-Kobayushicorrespondence for manifolds, II (2009)
  • Author(s): T. Mabuchi
  • Journal Title: Osaka J. Math 46 Pages: 115-139
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Chow-stability and Hilbert-stability in Mumford's Geometric Invariant Theory (2008)
  • Author(s): T. mabuchi
  • Journal Title: Osaka J. Math. 45 Pages: 833-846
  • NAID: 120004841938
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] An affine sphere equation assaciated to Einstein toric surfaces (2008)
  • Author(s): T. Mabuchi
  • Journal Title: ICCM2007, Hang zhou, Higher Educ, Press vol.I Pages: 206-215
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Extremal metrics and stabilities on polanized manifolds (2006)
  • Author(s): Toshiki MABUCHI
  • Journal Title: ICM 2006, European Mathematical Society vol.2 Pages: 813-826
• [Presentation] K-polystability for CSC polarization (2008)
  • Author(s): T. Mabuchi
  • Organizer: Ricl curvature and complexgeometry
  • Place of Presentation: Institut Henri Poincarey Paris
  • Year and Date: 2008-06-06
• [Presentation] Kahler-Ricci solitons in Sasakian geometry (2008)
  • Author(s): T. Mabuchi
  • Organizer: UK-Japan Winter School
  • Place of Presentation: University of Warwick
  • Year and Date: 2008-01-09