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量子集合論の研究と量子情報理論への応用

Research Project

Project/Area Number 18654016
Research Category

Grant-in-Aid for Exploratory Research

Allocation TypeSingle-year Grants
Research Field General mathematics (including Probability theory/Statistical mathematics)
Research InstitutionTohoku University

Principal Investigator

小澤 正直  Tohoku University, 大学院・情報科学研究科, 教授 (40126313)

Project Period (FY) 2006 – 2007
Project Status Completed (Fiscal Year 2007)
Budget Amount *help
¥3,300,000 (Direct Cost: ¥3,300,000)
Fiscal Year 2007: ¥1,600,000 (Direct Cost: ¥1,600,000)
Fiscal Year 2006: ¥1,700,000 (Direct Cost: ¥1,700,000)
Keywords量子集合論 / 量子論理 / 数学基礎論 / ブール代数値モデル / 移行原理 / 量子情報 / オーソモジュラ束 / 量子力学 / 公理的集合論 / von Neumann代数 / 量子完全相関
Research Abstract

1.完備オーソモジュラ束の可換子の導入:完備オーソモジュラ束の任意の部分集合に対して,その可換子を定義した。任意の完備オーソモジュラ束は,全体集合の可換子で生成される直和因子とその補元で生成される直和因子に分解され、前者は完備ブール代数,後者はブール束を直和因子に持たない束になる。
2.完備オーソモジュラ束の含意の導入:完備オーソモジュラ束に,可換元の間では古典論理の含意に一致するなど極めて一般的な要請を満たす含意論理接続詞のクラスを導入し,それらの性質を調べ,その最大のものと最小のものを特徴づけた。
3.完備オーソモジュラ束に基づく量子集合の構成:任意の完備オーソモジュラ束上で上記のクラスに属する任意の含意接続詞を持つ論理に対して,量子集合論の普遍類を定義し,それらを定項として含む集合論の任意の論理式にその射影束の元を真理値として対応させる規則を定義し,有界論理式の真理値は,その定項が含まれる部分環に依存しないで絶対的に定まること(絶対性性原理)を証明した。ZFC集合論の普遍類からの埋め込みを定義し,それらのみを定項として含む有界論理式の真理値は,ZFC集合論における真理値と一致することを示した。
4.量子集合論における移行原理:定項の集合に対して,それらが互いに可換であることを意味する命題の真理値を定義し,ZFCで証明される任意の論理式について,その定項に関する可換性の条件の下では,量子集合論で常に成立する事を表す移行原理を証明した。これまでの研究では,完備オーソモジュラ束がvon Neumann環の射影束の場合で,かつ,含意接続詞が佐々木アローである場合に,ZFCで証明される任意の「有界」論理式についてのみ移行原理が証明されていた。本研究により,これらの制約が大幅に緩和され,究極的な定式化のもとでZFCから量子集合論への移行原理が確立された。

Report

(2 results)
  • 2007 Annual Research Report
  • 2006 Annual Research Report
  • Research Products

    (9 results)

All 2008 2007

All Journal Article (1 results) (of which Peer Reviewed: 1 results) Presentation (8 results)

  • [Journal Article] Transfer principle in quantum set theory2007

    • Author(s)
      Masanao Ozawa
    • Journal Title

      J. Symbolic Logic 72

      Pages: 625-648

    • Related Report
      2007 Annual Research Report 2006 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] 量子情報の数理:測定・論理・計算・不確定性原理2008

    • Author(s)
      小澤正直
    • Organizer
      2008年度日本数学会・日本物理学会合同講演会
    • Place of Presentation
      大阪(近畿大学)
    • Year and Date
      2008-03-22
    • Related Report
      2007 Annual Research Report
  • [Presentation] 量子論の解釈と量子集合論2008

    • Author(s)
      小澤正直
    • Organizer
      KEK研究集会「量子論の諸問題と今後の発展」
    • Place of Presentation
      筑波(高エネルギー加速器研究機構)
    • Year and Date
      2008-03-20
    • Related Report
      2007 Annual Research Report
  • [Presentation] 量子力学の論理2008

    • Author(s)
      小澤正直
    • Organizer
      科学基礎論春のセミナー2008
    • Place of Presentation
      仙台(東北大学)
    • Year and Date
      2008-03-03
    • Related Report
      2007 Annual Research Report
  • [Presentation] Quantum Set Theory2007

    • Author(s)
      小澤正直
    • Organizer
      RIMS研究集会「公理的集合論と集合論的位相空間論」
    • Place of Presentation
      京都(京都大学)
    • Year and Date
      2007-11-28
    • Related Report
      2007 Annual Research Report
  • [Presentation] Maximal Beable Universe of Quantum Sets2007

    • Author(s)
      小澤正直
    • Organizer
      RIMS研究集会「非可換解析とミクロ・マクロ双対性」
    • Place of Presentation
      京都(京都大学)
    • Year and Date
      2007-10-15
    • Related Report
      2007 Annual Research Report
  • [Presentation] 量子論理における含意と量子集合論2007

    • Author(s)
      小澤正直
    • Organizer
      日本数学会2007年度(秋期)総合分科会
    • Place of Presentation
      仙台(東北大学)
    • Year and Date
      2007-09-24
    • Related Report
      2007 Annual Research Report
  • [Presentation] 非両立的文脈の同時測定可能性と量子集合論2007

    • Author(s)
      小澤正直
    • Organizer
      科学基礎論夏のセミナー2007
    • Place of Presentation
      東京(立正大学)
    • Year and Date
      2007-09-19
    • Related Report
      2007 Annual Research Report
  • [Presentation] 量子集合論内超準解析学(1),(2)2007

    • Author(s)
      小澤正直
    • Organizer
      2007年度ノンスタンダード・アナリシス・シンポジウム
    • Place of Presentation
      仙台
    • Related Report
      2007 Annual Research Report

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Published: 2006-04-01   Modified: 2016-04-21  

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