アルゴリズム的な着想によるg予想の肯定的な解決への挑戦

• Project/Area Number: 18654020
• Research Category: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: General mathematics (including Probability theory/Statistical mathematics)
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 日比 孝之 Osaka University, 大学院・情報科学研究科, 教授 (80181113)
• Project Period (FY): 2006 – 2008
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2008)
• Budget Amount: ¥3,100,000 (Direct Cost: ¥3,100,000); Fiscal Year 2008: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2007: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000); Fiscal Year 2006: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
• Keywords: アルゴリズム / 凸多面体 / g予想 / f列 / algebraic shifting / exterior shifting / generic initial ideal / 巡回凸多面体 / g 予想 / 単体的球面 / f 列 / 有限順序集合 / Gorenstein 複体 / linear resolution / combinatorial shifting / 凸多面体の組合せ論 / conbinatorial shifting / トーリック多様体

Research Abstract

1975年、StanleyによるCohen--Macaulay環の理論を使った球面版上限予想の肯定的な解決は、凸多面体を巡る組合せ論と可換代数が接点を持つ契機となった。その後、単体的凸多面体のf列に関するg予想は、1980年、Stanleyが必要性を、B-illera--Leeが十分性を解決した。必然的に、単体的凸多面体のf列に関するg定理は単体的球面のf列に関するg予想に一般化され、当該分野の最高峰に位置する懸案の予想として君臨している。われわれの萌芽研究の目的はalgebraic shiftingとcombinatorial shiftingの理論を使い、アルゴリズム数学の観点から、球面版g予想の肯定的な解決に挑戦することにある。最終年度である平成20年度は、研究代表者が持つ萌芽的な着想を実践的な理論に育む基礎研究を推進し、今後の研究の進むべき方向性の一つを提唱した。具体的には、単体的球面のalgebraic shiftingの分類理論を構築するための基礎的な研究として、単体的球体
のalgebraic shiftingがcombinatorial shiftingとして得られるような単体的球体の類を探す研究を展開し、部分的な成果を得ることができた。なお、一般に、単項式イデアルに限っても、そのジェネリックイニシャルイデアルを計算することはきわめて困難である。今後、計算代数のグループとの共、同研究を強力に展開し、ジェネリックイニシャルイデアルを高速に計算するソフトの開発をすることは、g予想の肯定的な解決に限らず、計算可換代数の発展に貢献するためにも、きわめて重要な仕事である。他方、球面版g予想に関連し、Ehrhart多項式の特徴付け問題に再挑戦し、体積が小さい凸多面体のEhrhart多項式を、嘗て、Stanleyと研究代表者が得た不等式の系列を使って組合せ論的に特徴付けることに成功し、Ehrhart多項式の研究を一歩進めることに重要な貢献をすることができた。

Research Products

• [Journal Article] The depth of an ideal with a given Hilbert function (2008)
  • Author(s): Satoshi Murai
  • Journal Title: Proc. Amer. Math. Soc. 136 Pages: 1533-1538
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Linear balls and the multiplicity conjecture (2008)
  • Author(s): Takayuki Hibi
  • Journal Title: Tourna 1 of Algebra 319 Pages: 4372-4390
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Groebner bases of nested configurations (2008)
  • Author(s): Satoshi Aoki
  • Journal Title: Journal of Algebra 320 Pages: 2583-2593
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Linear balls and the multiplicity conjecture (2008)
  • Author(s): Takayuki Hibi
  • Journal Title: J. Algebra
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Maximal Betti numbers of Cohen-Macaulay complexes with a given f-vector (2007)
  • Author(s): Takayuki Hibi
  • Journal Title: Arch. Math. 88 Pages: 507-512
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Symbolic powers of monomial ideals and vertex cover algebras (2007)
  • Author(s): Takayuki Hibi
  • Journal Title: Advances in Math. 210 Pages: 304-322
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Gin and lex of certain monomial ideals (2006)
  • Author(s): Satoshi Murai
  • Journal Title: Math. Scand. 99 Pages: 76-86
• [Journal Article] Weakly polymatroidal ideals (2006)
  • Author(s): Masako Kokubo
  • Journal Title: Algebra Colloquium 13 Pages: 711-720
• [Presentation] Groebner bases of nested configurations (2008)
  • Author(s): 日比孝之
  • Organizer: 日本数学会秋季総合分科会
  • Place of Presentation: 東京工業大学
  • Year and Date: 2008-09-25
• [Presentation] Groebner Basis Techniques in Algebraic Combinatorics (2007)
  • Author(s): 日比孝之
  • Organizer: 可換代数と組合せ論国際会議
  • Place of Presentation: テサロニキ大学(ギリシャ)
  • Year and Date: 2007-08-29