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可積分保存系における剛性の研究

Research Project

Project/Area Number 18654033
Research Category

Grant-in-Aid for Exploratory Research

Allocation TypeSingle-year Grants
Research Field Global analysis
Research InstitutionKanazawa University

Principal Investigator

伊藤 秀一  Kanazawa University, 数物科学系, 教授 (90159905)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 吉野 正史  広島大学, 理学研究科, 教授 (00145658)
矢ケ崎 一幸  岐阜大学, 工学部, 教授 (40200472)
Project Period (FY) 2006 – 2008
Project Status Completed (Fiscal Year 2008)
Budget Amount *help
¥3,200,000 (Direct Cost: ¥3,200,000)
Fiscal Year 2008: ¥1,000,000 (Direct Cost: ¥1,000,000)
Fiscal Year 2007: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
Fiscal Year 2006: ¥1,100,000 (Direct Cost: ¥1,100,000)
Keywords保存力学系 / シンプレクティック写像 / ハミルトン系 / 可積分系 / バーコフ標準形 / 剛性
Research Abstract

本研究の目的は可積分保存系(ハミルトン系)の剛性の理解と,その近可積分系への応用にあり,平成20年度は離散ハミルトン系であるシンプレクティック写像のバーコフ標準化の問題を超可積分性の観点から研究した。主たる成果は以下の定理を得たことにある:
「fを不動点の近傍で定義された2n次元の解析的シンプレクティック写像とする。もしその不動点が共鳴度q(0≦q≦n)の不動点であり,fがその近傍でn+q個の関数的に独立な解析的第一積分をもつならば,解析的なシンプレクティック変換によってfはバーコフ標準形に変換される。このときのバーコフ標準形は共鳴項をもたないハミルトニアンHの時間1写像として表され,Hはとくにn-q個の変数の関数になる。」
この結果については,すでに昨年度の研究で,fを時間tについて(周期1の)周期的なハミルトニアンの時間1写像としてとらえ,その時間依存するハミルトニアンのバーコフ標準化の問題に帰着させる証明を行っていた。しかし今回,そのような手法を用いずに直接定理を証明できる簡明な方法を発見し,標準形の形についても明快な理解を得ることができた。さらに,上記の結果は与えられた写像がパラメータに依存し不動点の共鳴度がパラメータとともに変化する場合にも成り立つことを示した。この結果は正しく可積分系のもつ剛性といえるものであろう。また,この結果をオイラーのコマの運動の解析に応用し,特殊な周期運動(剛体の回転)のまわりで(特異点を許す)作用-角変数が導入できることを示した。
以上の成果は,超可積分系の摂動問題の研究を進める上で基礎となる結果と考えられる。

Report

(3 results)
  • 2008 Annual Research Report
  • 2007 Annual Research Report
  • 2006 Annual Research Report
  • Research Products

    (7 results)

All 2009 2008 2007

All Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 3 results) Presentation (4 results)

  • [Journal Article] Birkhoff normalization and superintegrability of Hamiltonian systems2009

    • Author(s)
      Hidekazu Ito
    • Journal Title

      Ergodic Theory and Dynamical Systems (掲載確定)

    • Related Report
      2008 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Birkhoff normal forms for superintegrable systems2008

    • Author(s)
      Hidekazu Ito
    • Journal Title

      RIMS Kokyuroku Bessatsu B10

    • Related Report
      2008 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Divergence and resummation in the normal form theeory of vector fields2008

    • Author(s)
      Masafumi Yoshino
    • Journal Title

      RIMS Kokyuroku Bessatsu 5

      Pages: 113-119

    • Related Report
      2007 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] シンプレテクティック写像のバーコフ標準化と超可積分性2009

    • Author(s)
      伊藤秀一
    • Organizer
      日本数学会2009年度春の学会
    • Place of Presentation
      東京大学
    • Year and Date
      2009-03-26
    • Related Report
      2008 Annual Research Report
  • [Presentation] Gray-Scottモデルにおけるパルス定常解に対する不安定多様体の数値計算2007

    • Author(s)
      矢ヶ崎 一幸
    • Organizer
      日本数学会2007年秋季総合分科会
    • Place of Presentation
      東北大学
    • Year and Date
      2007-09-23
    • Related Report
      2007 Annual Research Report
  • [Presentation] 共鳴平衡点におけるバーコフ標準化と超可積分性2007

    • Author(s)
      伊藤 秀一
    • Organizer
      日本数学会2007年秋季総合分科会
    • Place of Presentation
      東北大学
    • Year and Date
      2007-09-21
    • Related Report
      2007 Annual Research Report
  • [Presentation] C^∞可積分かつC^ω可積分でないハミルトン系の存在とモノドロミー2007

    • Author(s)
      吉野 正史
    • Organizer
      日本数学会2007年秋季総合分科会
    • Place of Presentation
      東北大学
    • Year and Date
      2007-09-21
    • Related Report
      2007 Annual Research Report

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Published: 2006-04-01   Modified: 2016-04-21  

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