Einstein metrics and Ricci flow on singular spaces, and study of the Yamabe invariant

• Project/Area Number: 18H01117
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Chuo University
• Principal Investigator: 芥川 一雄 中央大学, 理工学部, 教授 (80192920)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2022)
• Budget Amount: ¥16,250,000 (Direct Cost: ¥12,500,000、Indirect Cost: ¥3,750,000); Fiscal Year 2022: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000); Fiscal Year 2021: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000); Fiscal Year 2020: ¥3,250,000 (Direct Cost: ¥2,500,000、Indirect Cost: ¥750,000); Fiscal Year 2019: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000); Fiscal Year 2018: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
• Keywords: 特異アインシュタイン計量 / 特異山辺計量 / 特異山辺の問題 / 特異リッチフロー / 山辺不変量 / スカラー曲率 / リッチフロー / 山辺計量 / edge-cone 球面 / 特異型小畠の定理 / edge-cone山辺計量 / edge-cone山辺の問題 / 拡張されたAubinの補題 / Ricci flow / 相対アインシュタイン計量 / 相対山辺計量 / 極小境界計量 / 小畠型定理 / 相対Einstein計量 / 相対山辺不変量 / アインシュタイン計量 / 特異空間 / Einstein計量

Outline of Annual Research Achievements

(1)　特異多様体上での山辺の問題に関しては，Ilaria Mondelloとの共同研究で，cone-angleが4π以上のedoge-coneアインシュタイン特異球面上では特異山辺計量は存在しないことを示した(J. Geom. Anal.に出版済み)．また，「複素幾何学の諸問題 II」京都数理解析研究所高級録 2211にて，関係する諸問題を論じた．
(2)　特異計量，特にsimple edgeを初期軽量とするリッチフローの研究は，コロナの影響のため思ったように進まなかった．関連する研究は，境界付きコンパクト多様体上のリッチフローの研究である．境界でのリッチフローと特異集合における特異リッチフローの幾何解析に類似点がある．境界付き多様体上のリッチフローの進展および総合報告を得た(2021年度日本数学会秋季総合講演報告集にて出版)．また境界付き多様体上の相対アインシュタイン計量に対する小畠型一意性定理を示した(Geom. Dedicata 213(2021)に出版)．
(3)　Edge-coneアインシュタイン計量の存在問題と山辺不変量への応用に関して，存在問題はコロナの影響のため思ったように進展できなかった．一方，正の edge-coneアインシュタイン計量 g の存在を仮定すると，この g のアインシュタイン定数に対して，リッチ曲率の下限が任意に小さい誤差で近似できる滑らかな計量族が構成できることを示した．応用として，正の edge-coneアインシュタイン計量 g を許容する閉多様体の山辺不変量の下からの評価をこの g を用いて記述できることが示せる(「Einstein edge-cone metrics and the Yamabe invariant」として執筆中)．

Research Progress Status

令和4年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

令和4年度が最終年度であるため、記入しない。

Research Products

• [Int'l Joint Research] Stanford University(米国)
• [Int'l Joint Research] Indian Institute f Science, Bangalore(インド)
• [Int'l Joint Research] Universiry of Oldenburg/Universiry of Oldenburg(ドイツ)
• [Int'l Joint Research] フランス/Universit de Paris-Est Creteil(フランス)
• [Int'l Joint Research] インド/Indian Institute f Science, Bangalore(インド)
• [Int'l Joint Research] スェーデン/University of Gothenburg(米国)
• [Int'l Joint Research] 米国/University of California, Irvine(米国)
• [Int'l Joint Research] Universite Paris 12(フランス)
• [Int'l Joint Research] University of Regensburg(ドイツ)
• [Int'l Joint Research] Rafe Mazzeo/Stanford University(米国)
• [Int'l Joint Research] Ilaria Mondello/Universite Paris Est Creteil(フランス)
• [Journal Article] Non-existence of Yamabe minimizers on singular spheres (2022)
  • Author(s): kazuo Akutagawa, Ilaria Mondello
  • Journal Title: The journal of Geometric Analysis Volume: 32 Issue: 7
  • DOI: 10.1007/s12220-022-00923-1
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] 幾何解析の問題：山辺不変量の問題 (2022)
  • Author(s): 芥川和雄
  • Journal Title: 数理解析研究所講究録 2211，複素幾何学の諸問題 II Volume: 213
• [Journal Article] 幾何解析の問題：山辺不変量の問題 (2021)
  • Author(s): 芥川和雄(一雄)
  • Journal Title: RIMS Kokyuroku,「複素幾何学の諸問題II」 Volume: 2211
• [Journal Article] 境界付き多様体上のリッチフロー (2021)
  • Author(s): 芥川和雄(一雄)
  • Journal Title: 2021年度日本数学会秋季分科会，総合講演アブストラクト Volume: 1
• [Journal Article] An Obata-type theorem on compact Einstein manifolds with boundary (2021)
  • Author(s): Kazuo Akutagawa
  • Journal Title: Geometriae Dedicata Volume: 213 Issue: 1 Pages: 577-587
  • DOI: 10.1007/s10711-021-00598-y
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] The Yamabe invariant (2021)
  • Author(s): Kazuo Akutagawa
  • Journal Title: Sugaku Expositions Volume: 34
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] A gap theorem for positive Einstein metrics on the four sphere (2019)
  • Author(s): K. Akutagawa, H. Endo, H. Seshadri
  • Journal Title: Mathematische Annalen Volume: 373 Issue: 3-4 Pages: 1329-1339
  • DOI: 10.1007/s00208-018-1749-x
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] 特異球面上の山辺計量の非存在とcsc計量族の小畠型定理 (2019)
  • Author(s): Kazuo Akutagawa
  • Journal Title: 2019年度福岡大学微分幾何研究集会，報告集 Volume: 1
• [Journal Article] Obata-type theorems on compact Einstein manifolds with boundary (2019)
  • Author(s): Kazuo Akutagawa
  • Journal Title: 2018年度福岡大学微分幾何研究集会報告集 Volume: 1
• [Presentation] The Ricci flow on manifolds with boundary and finite singular time (2021)
  • Author(s): 芥川和雄(一雄)
  • Organizer: 東京工業大学「東工大幾何セミナー」
  • Invited
• [Presentation] 幾何解析の問題 (2021)
  • Author(s): 芥川和雄(一雄)
  • Organizer: 研究集会「複素幾何学の諸問題II」
  • Invited
• [Presentation] 境界付き多様体上のリッチフロー (2021)
  • Author(s): 芥川和雄(一雄)
  • Organizer: 2021年度日本数学会秋季総合分科会，総合講演
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 特異球面上の山辺計量の非存在とcsc計量族の小畠型定理 (2019)
  • Author(s): Kazuo Akutagawa
  • Organizer: 2019年度福岡大学微分幾何研究集会
  • Invited
• [Presentation] Obata-type theorems on compact Einstein manifolds with boundary (2019)
  • Author(s): Kazuo Akutagawa
  • Organizer: 研究集会：リーマン幾何と幾何解析
  • Invited
• [Presentation] Edge-cone Einstein metrics and Yamabe metrics (2018)
  • Author(s): Kazuo Akutagawa
  • Organizer: 国際研究集会：The 10th MSJ-SI: The Role of Metrics in the Theory of Partial Differential Equations
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] An Obata-type theorem on compact Einstein manifolds with boundary (2018)
  • Author(s): Kazuo Akutagawa
  • Organizer: 2018年度福岡大学微分幾何研究集会
  • Invited
• [Book] 幾何学百科 II 幾何解析 (2018)
  • Author(s): 芥川和雄
  • Total Pages: 425
  • Publisher: 朝倉書店
• [Remarks] Kazuo Akutagawa
  • URL: https://sites.google.com/site/kazuoakutagawa/
• [Funded Workshop] 「Geometric Analysis」ドイツ・レーゲンスブルグ大学 (2023)
• [Funded Workshop] 「Collaborative workshop on Geometric Analysis」アメリカ・スタンフォード大学 (2023)
• [Funded Workshop] 第2回日独友好幾何学研究集会「Geometric Analysis」」 (2021)
• [Funded Workshop] 第2回日独友好幾何学研究集会「Geometric Analysis」 (2020)
• [Funded Workshop] The First Geometry Conference for Friendship of Japan and Germany (2019)
• [Funded Workshop] Geometric Analysis in Geometry and Topology 2018 (2019)