線型群の作用のコンパクト化とその応用

• Project/Area Number: 18K03199
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 齋藤 睦 北海道大学, 理学研究院, 教授 (70215565)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2025-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000); Fiscal Year 2021: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000); Fiscal Year 2020: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000); Fiscal Year 2019: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2018: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
• Keywords: コンパクト化 / 線型群 / 超幾何微分方程式系

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は，線型群の表現のコンパクト化を考え，その構造を明らかにすることにより線型作用の極限を統一的に扱うことを目指すことである。数学の多くの対象においてその線型変形の極限を考察することが良くあるので，この研究は多方面での応用が期待できる。本研究期間においては，応用面では主に超幾何微分方程式系の変形に適用することを目指している。

線型群の表現のコンパクト化については，一般線型リー代数のカルタン部分代数の一般線型群の随伴表現による軌道のグラスマン多様体における閉包について引き続いて考察した。これは，青本-ゲルファント型A-超幾何微分方程式系の合流全ての記述を目指すものである。
幾つかの関連する先行研究をたどるうち，研究動機は不明であるが，グプタ氏が同じ問題を80年代に考察していたことを知った。グプタ氏は，可換部分代数がカルタン部分代数の一般線型群による軌道の閉包に属するためには，代数的であることが必要であることを証明していて，カルタン部分代数と同じ次元の可換部分代数でカルタン部分代数の一般線型群による軌道の閉包に入らない具体例も挙げている。但し，冪零元のみからなる部分代数は全て代数的だから，この必要条件からでは，冪零元のみからなるどの可換代数がカルタン部分代数の一般線型群による軌道の閉包に属するのかを判定することはできない。以上を踏まえ，引き続き冪零元のみからなる部分代数でカルタン部分代数の一般線型群による軌道の閉包に入らない具体例を探している。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

代数的であることなど可換リー代数がカルタン部分代数の一般線型群による軌道の閉包に入るための条件についての知見が広がったが，以前立てたファンに関する幾つかの予想についてなど目標とする進展は得られなかった。

Strategy for Future Research Activity

以前立てた予想に対し，計算可能な例を多く計算し，証明したい。また，超平面配置の空間への一般線型群の作用のコンパクト化も考察したい。

Research Products

• [Journal Article] Logarithmic A-hypergeometric series II (2022)
  • Author(s): Go Okuyama and Mutsumi Saito
  • Journal Title: Beitrage zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry Volume: - Issue: 4 Pages: 1057-1086
  • DOI: 10.1007/s13366-022-00669-5
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Logarithmic A-hypergeometric series (2020)
  • Author(s): Saito Mutsumi
  • Journal Title: International Journal of Mathematics Volume: 31 Issue: 13 Pages: 2050110-2050110
  • DOI: 10.1142/s0129167x20501104
  • NAID: 120007173913
  • Peer Reviewed / Open Access