Research on arithmetic of number fields and coverings with non-commutative Galois groups
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18K03253
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Sophia University |
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Principal Investigator |
角皆 宏 上智大学, 理工学部, 教授 (20267412)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中筋 麻貴 上智大学, 理工学部, 教授 (30609871)
五味 靖 上智大学, 理工学部, 准教授 (50276515)
梅垣 敦紀 愛知大学, 国際コミュニケーション学部, 教授 (60329109)
都築 正男 上智大学, 理工学部, 教授 (80296946)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2020: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2019: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
Fiscal Year 2018: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
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| Keywords | 整数論 / 代数学 / ガロア理論 / アルゴリズム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度に主に取り組んだテーマは、生成的多項式の代数的整数論への応用である。素数導手の3次Gauss周期にはGauss以来の従来研究が脈々とあり、Shanksの3次巡回多項式から得られる最簡3次巡回体の場合に互いの関係が詳しく調べられているが、この関係を一般の素数導手の場合に拡張するとともに、その合成により合成数導手の場合にもその関係を詳しく考察した。その際、原始根の選択やShanks多項式のパラメタの値の選択にある自由度については従来あまり明確にされてこなかったが、合成を考える際にはきちんと決める必要があり、その点でやや新規性があると思われる結果を得て研究発表を行なった（論文として発表すべく準備中）。元来は本研究の主眼である非可換なGalois群を持つ生成的多項式に対する同様の現象を狙っていて、3次巡回多項式の場合は習作の位置づけであったが、例えば5次二面体群の場合には同様の状況が作れないことが群論的考察によって明らかになった。
種数1のdessin d'enfantについては、その計算の中で、多項式が複数の重根を持つ条件を取り扱う必要があり、これを不変式論に結び付ける結果も得て研究発表を行なった（論文として発表すべく準備中）。また、研究協力者の堀江まどか氏は、種数を限定せずに2頂点のdessinについて考察し、その同型類の数え上げを行なった他、幾つかの特徴的な2頂点dessinについての考察を進めている。
研究分担者を中心とする研究では、中筋氏は昨年度までに引続き、多重ゼータ関数・多重ゼータ値および多重Bernoulli数の一般化に取り組み、Schur型多重ゼータ関数やSchur型多重ゼータ値を中心に、多くの結果を得て論文出版や研究発表に至った。特に大学院生を研究補助者とした共同研究として、Schur型多重Polyベルヌーイ数についての考察が進んだ。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
感染症蔓延も落ち着きが見え、今年度後半からは研究出張による研究集会参加や対面でのセミナー開催など研究交流も再開しつつあり、新たなアイデアの創出に繋がるなど、研究の進捗に役立った。しかし、トータルで見て当初想定していた程度まで取り戻せたとは言い難い。
生成的多項式の代数的整数論への応用として、合成数導手の3次巡回拡大におけるShanksの3次巡回多項式の根とGauss周期との関係について論文として発表すべく準備を進めている。これはGalois群が可換な場合であり、本研究全体の主眼から見ると習作的な位置付けで、これを踏まえて非可換なGalois群に対応する生成的多項式でも同様な現象の観察・分析を行ないたかったが、手持ちの例では群論的理由により同様の現象が生じないことがわかった。また、5次交代群型6次体についても、不分岐拡大や明示的な単数の構成に関して、計算機による実験的な観察を引続き行なっているが、今年度はあまり進捗はなかった。
dessin d'enfantの計算的研究においては、多項式の複数重根条件の不変式論的解釈を得たのが大きな進捗であった。元々種数1のdessinの計算の一部として発表する予定であったが、もう少し考察を深めて独立した論文として発表することも考えている。また、新たな研究協力者により、2頂点dessinに絞って考察するという着目点を得た。
研究分担者を中心とする研究では、特に多重ゼータ関数・多重ベルヌーイ数とその拡張に関して、多くの研究発表および論文の掲載に至っており、更に今後の進展が期待できる状態である。この他の課題については余り進んでいないものもあるが、幾つかのものは準備が進んでいる。
特に一部の研究では大学院生を研究協力者・研究補助者とする共同研究の態勢作りに本科研費が活用できた。
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| Strategy for Future Research Activity |
合成数導手の3次巡回拡大におけるShanksの3次巡回多項式の根とGauss周期との関係について結果をまとめるとともに、Lehmerの5次巡回多項式の場合にも考察を進める他、本研究の主眼である非可換なGalois群を持つ生成的多項式の場合で、同様の現象が現れうるか、考察を進めたい。二面体型5次体や5次交代群型6次多項式の数論に関しては、引続き整数環・単数群が共に明示的に得られるような場合の探求を行ないたい。これらは、実験的な計算観察から進めて、無限族の構成に向けた理論的な研究を進めたい。これらの探求では有限群の表現論や保型形式論との関係も予期されるので、各分野の研究分担者との連携を深めたい。研究分担者を中心とする課題もそれぞれ順調であるので、引続き進める。これらを通じて、学内・学外の大学院生や若手研究者との共同研究も含めて、研究を推進していきたい。感染症蔓延が落ち着きつつあるので、対面による研究会実施・参加のための研究出張に本研究費の旅費を充て、研究発表・研究交流に役立てられることを想定している。その他の使途の予定は、書籍代や計算機ソフトウェアおよび周辺機器など、通常のようなものである。
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Report
(5 results)
Research Products
(47 results)
