写像類群の部分群のコホモロジー群と3次元多様体の研究

• Project/Area Number: 18K03310
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Tokyo Denki University
• Principal Investigator: 佐藤 正寿 東京電機大学, 未来科学部, 准教授 (10632010)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2021-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2018)
• Budget Amount: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000); Fiscal Year 2020: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000); Fiscal Year 2019: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000); Fiscal Year 2018: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
• Keywords: ハンドル体写像類群 / LMO関手 / トポロジー / 写像類群 / 3次元多様体 / 有限型不変量

Outline of Annual Research Achievements

本年度は2件の研究を行った。
写像類群には符号数コサイクルとよばれる整数係数2次コサイクルがあるが、これを適切な部分群に制限するとコバウンダリになることが知られている。これをコバウンドする関数はMeyer関数と呼ばれ、これは代数幾何などの分野で研究されている符号数の局所化という現象と関わっており、位相幾何の分野でしばしば研究されている。
この1つとして、3次元ハンドル体の写像類群上におけるMeyer関数について調べた。これは久野雄介氏との共同研究である。具体的にはまず4次元多様体である円周上のハンドル体束の交叉形式の明示的な公式を与えた。またこれを利用し、超楕円的ハンドル体写像類群上の整係数1次コホモロジー類を構成した。本研究内容はプレプリントとして既に公開し、雑誌に投稿中である。

写像類群の部分群であるラグランジアン写像類群にはLMO関手と呼ばれるJacobi図のなす空間への準同型が存在する。この準同型は、Johnson写像やLMO不変量などの情報を含む非常に強力な準同型である。
これについて、写像類群の部分群列であるJohnsonフィルトレーションにおいてLMO関手の計算を行った。これは鈴木正明氏、野崎雄太氏との共同研究である。現在は計算プログラムを作成している段階であり結果は出ていないが、本研究を進めることにより、Johnsonフィルトレーションのアーベル化と3次元多様体の不変量について新しい情報が得られることが期待される。

Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

研究1年目について久野雄介氏との共同研究としてハンドル体写像類群上のMeyer関数について結果を得ることができた。これは当初予想していなかったことであり、計画以上に進展していると考える。

Strategy for Future Research Activity

まずは、LMO関手についてJohnson核上で値を調べることを考えている。またHeapによりTorelli群上に構成された準同型と同様の構成をJohnsonフィルトレーションで行うことによりJohnson核のアーベル化の情報が得られないか調べることを予定している。