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Convexity and global behavior of geodesics on Finsler manifolds

Research Project

Project/Area Number 18K03314
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

Allocation TypeMulti-year Fund
Section一般
Review Section Basic Section 11020:Geometry-related
Research InstitutionFukuoka Institute of Technology

Principal Investigator

塩濱 勝博  福岡工業大学, 付置研究所, 研究員 (20016059)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 永野 哲也  長崎県立大学, 情報システム学部, 教授 (00259699)
糸川 銚  福岡工業大学, 情報工学部, 教授 (90223205)
印南 信宏  新潟大学, 自然科学系, フェロー (20160145)
Project Period (FY) 2018-04-01 – 2022-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2020)
Budget Amount *help
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2019: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2018: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Keywords非対称距離函数 / 完備フィンスラー多様体 / 正距方位図法 / 凸関数 / アフィン函数 / 切断跡 / フィンスラー多様体 / 非対称距離構造 / Randers計量 / コンパクト階数1対称空間 / Blaschkeフィンスラー多様体 / 平行性 / 測地線 / 凸性 / 共役跡 / フィンスラー計量 / ランダース計量 / ベアバルト計量
Outline of Annual Research Achievements

非対称距離を保つ完備フィンスラー多様体Mの一点pの周りで定義された指数写像は、切断跡内部U(p)では接空間に自然に対応するが、pを始点とする測地線がpの切断点を超えた点では、もはや一意的には接空間にリフトできない。
然し乍らpの周りの正距方位図法によってpの切断点を超えた測地線の部分をU(p)に織り込んで得られた曲線の挙動についての情報はある程度詳しく調べられた。この結果はKlingenbergやNakagawa-Shiohamaによって明らかにされた切断点における最点性を失った測地線の挙動を更に詳しく調べたものである。
凸性はリーマン多様体とフィンスラー多様体に共通に定義され、議論される。完備フィンスラー多様体の測地線の挙動は完備リーマン多様体上の測地線とは必ずしも共通ではない現象が存在する。その現象は凸関数やアフィン関数の存在によって明らかにされる事を我々は示す事に成功した。リーマン多様体の自明ではない凸関数がコンパクトな等位集合を持てば、すべての等位集合はコンパクトである。然し乍ら、同じ現象がフィンスラー多様体では起こりそうも無い。
アフィン関数を許容する完備フィンスラー多様体の上でアフィン関数の積分曲線が直線となることに注目して、その直線が定めるBusemann関数が本質的にアフィン関数と一致する事を示した。更に、アフィン函数全体の空間が最大の時には元のフィンスラー多様体はミンコフスキー空間である事を証明した。
我々が扱うフィンスラー多様体は距離感酢の非対称性に留まらず線形平行移動も非対称性である事に注目する。永野哲也はこの性質を利用して公開鍵暗号システムについて知見を深めた。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

研究目的の一つとして議論を続けてきたフィンスラー多様体上の切断跡の研究は正距方位図法の導入によって大きく前進した。この議論に延長線上には管局面や一般化された回転面上の測地線の挙動を測地共役という新しい考えを導入して
調べ直すことが出来るだろう。
当初はリーマン多様体から始め、二つのリーマン多様体上の単位接束の間に測地共役対応が存在すれば、それらは等長的か?古典的によく知られた判例がある。正円柱に関する議論は幾つかあるが、正円柱を変形した曲面について我々は議論を進展出来ると考えている。この議論は完備フィンスラー曲面に対して進められるだろうか?

Strategy for Future Research Activity

共同研究者として研究グループに加わっていた印南信宏・新潟大学名誉教授を研究協力者として再び仲間に受け入れ、
永野哲也・長崎県立大学教授、糸川銚・福岡工業大学教授共々協力して複雑な計算等に挑戦し、本研究の更なる発展に繋げる。

Report

(3 results)
  • 2020 Research-status Report
  • 2019 Research-status Report
  • 2018 Research-status Report

Research Products

(11 results)

All 2021 2020 2019 2018

All Journal Article (5 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Peer Reviewed: 5 results,  Open Access: 2 results) Presentation (3 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Invited: 1 results) Book (3 results)

  • [Journal Article] Affine Functions and Busemann Functions on Complete Finsler manifolds2021

    • Author(s)
      N.Innami--Y.Itokawa--T.Nagano--K.Shiohama
    • Journal Title

      Proceedings of the American Mathematical Society

      Volume: 149

    • Related Report
      2020 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] The Azimuthal Euidistant Projection for a Finsler Manifold by the Exponential Map2020

    • Author(s)
      N.Innami--Y.Itokawa--T.Nagano--K.Shiohama
    • Journal Title

      Pacific Journal of Mathematics

      Volume: 308

    • Related Report
      2020 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Notes on Reversibility and Branching of Geodesics in Finsler Spaces2019

    • Author(s)
      T.Nagano-N.Innami-Y.Itokawa-K.Shiohama
    • Journal Title

      Bull. Inst. Politeh. Din Iasi (Romania)

      Volume: 65

    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Blaschke Finsler Manifolds and actions of Projective Randers Changes on Cut Loci2019

    • Author(s)
      N.Innami-Y.Itokawa-T.Nagano-K.Shiohama
    • Journal Title

      Transactions of American Mathematical Society

      Volume: 371

    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Blaschke Finsler Manifolds and Actions of Projective Randers Changes on Cut Loci2019

    • Author(s)
      N.Innami, Y.Itokawa, T.Nagano and K.Shiohama
    • Journal Title

      Trans. Amer. Math. Soc.

      Volume: Vol 371, No. 10

    • Related Report
      2018 Research-status Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Approach to Cryptography from Differential Geometry with Example2020

    • Author(s)
      永野哲也
    • Organizer
      The 13-th International Conference SecITC 2020
    • Related Report
      2020 Research-status Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Affine Functions on Complete Finsler Manifolds2019

    • Author(s)
      塩濱勝博
    • Organizer
      第54回フィンスラー幾何学シンポジウム
    • Related Report
      2019 Research-status Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Affine Functions on complete Finsler manifolds2018

    • Author(s)
      K.Shiohama
    • Organizer
      The 53-rd. International Symposium on Finsler Geometry
    • Related Report
      2018 Research-status Report
  • [Book] Innovation Security Solutions for Information Technology and Communications2021

    • Author(s)
      T.Nagano--H.Anada
    • Total Pages
      302
    • Publisher
      Springer Nature, Switaerland
    • Related Report
      2020 Research-status Report
  • [Book] Geometry in History2019

    • Author(s)
      S.G.Dani and A.Papadopoulos (Editors)
    • Total Pages
      750
    • Publisher
      Springer Nature Switzerland AG 2019
    • ISBN
      9783030136086
    • Related Report
      2019 Research-status Report
  • [Book] The Global Study of Riemannian-Finsler Geometry --to the memory of Marcel Berger--2018

    • Author(s)
      K.Shiohama and B.Tiwari
    • Publisher
      Springer-Verlag, arXiv:1811552v1
    • Related Report
      2018 Research-status Report

URL: 

Published: 2018-04-23   Modified: 2021-12-27  

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