劣拡散的なランダム媒質中の多次元拡散過程の漸近挙動と極限分布の研究

• Project/Area Number: 18K03324
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12010:Basic analysis-related
• Research Institution: Keio University (2020-2023); Tokyo Gakugei University (2018-2019)
• Principal Investigator: 高橋 弘 慶應義塾大学, 商学部(日吉), 准教授 (30413826)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2025-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000); Fiscal Year 2022: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2021: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2020: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2019: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000); Fiscal Year 2018: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
• Keywords: 自己相似確率過程 / ランダム媒質 / １次元拡散過程 / 従属性を持つ確率過程 / 確率解析 / Weakly dependence / 従属性を持つ確率変数 / 確率微分方程式 / レヴィ過程

Outline of Annual Research Achievements

本研究では，自己相似確率過程をランダム媒質のモデルとして，その中の拡散過程の漸近挙動を媒質のランダムネスから明確に説明することを目的としている。今年度は，１次元に満たないが，自己相似性を持つフラクタル的な構造を持つ図形上にランダム媒質を与え，その中の拡散過程の漸近挙動に関する研究を進めた。
得られた結果は，ランダム媒質に起因するスケーリングと図形の複雑さに起因するスケーリングの下で極限分布が得られる，というものであり，今まで考察されたモデルから得られる極限定理とは異なるものが導出された。この結果をさらに一般化する方向に研究を進めた。その成果としては，分散が定義されないような「大きな」ランダムネスを持つ媒質の下での極限定理を導出することができた。また，分散が定義できるランダムネスを持つ媒質の場合については，スケーリングをとらないことで，さらに精密化された問題を考えることができることがわかった。この問題については，いくつかの研究集会で発表し，現在は，これらの成果を論文として発表するための準備を行っている。
上記のモデルとは異なるモデルとして，数直線の負側だけにランダム媒質が与えられている場合の極限定理について考察した。この研究は，ランダム媒質中の拡散過程の性質を調べることに動機づけされているが，１次元拡散過程の極限定理に関する一般論の問題に抽象化できることがわかった。これらの成果について，論文を投稿した。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

スケーリングをとらない精密化の問題について考察し，極限定理に関する結果を導くような筋道がある程度得られたため，おおむね順調に進展していると自己評価する。
また，数直線の負側だけにランダム媒質が与えられている場合についても，精密化の問題を考えられることに気づき，新たな研究の方向性が得られたことも，上記の自己評価の理由となる。

Strategy for Future Research Activity

２０２３年度にいくつかの研究集会で発表した自己相似性を持つフラクタル的な構造を持つ図形上でのランダム媒質中の問題については，得られた結果を吟味し，成果をまとめているところである。今年度中に論文を完成させ，投稿する予定である。
また，数直線の負側だけにランダム媒質が与えられている場合については，新たな問題設定の下で，いくつかのアイディアを検討している。その後，論文としてまとめることを目指す。

Research Products

• [Journal Article] A limit theorem for diffusion processes in Brownian environments on disconnected fractal sets in R (2024)
  • Author(s): Takahashi, Hiroshi and Tamura, Yozo
  • Journal Title: 統計数理研究所共同研究リポート Volume: 472 Pages: 83-88
  • Open Access
• [Journal Article] Diffusion processes in Brownian environments on disconnected selfsimilar fractal sets in R (2023)
  • Author(s): Takahashi, Hiroshi and Tamura, Yozo
  • Journal Title: Statistics & Probability Letters Volume: 193 Pages: 109694-109694
  • DOI: 10.1016/j.spl.2022.109694
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] On the rate of convergence of Euler-Maruyama approximate solutions of stochastic differential equations with multiple delays and their confidence interval estimations (2023)
  • Author(s): Hashimoto Masataka、Takahashi Hiroshi
  • Journal Title: AIMS Mathematics Volume: 8 Issue: 6 Pages: 13747-13763
  • DOI: 10.3934/math.2023698
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Topics on diffusion processes in one-sided random environments (2023)
  • Author(s): Suzuki, Yuki, Takahashi, Hiroshi and Tamura, Yozo
  • Journal Title: 統計数理研究所共同研究リポート Volume: 463 Pages: 67-73
  • Open Access
• [Journal Article] Interval estimations for Euler-Maruyama approximate solutions of stochastic differential equations with multiple delays (2019)
  • Author(s): HASHIMOTO Masataka、TAKAHASHI Hiroshi
  • Journal Title: Journal of Japan Society of Civil Engineers, Ser. A2 (Applied Mechanics (AM)) Volume: 75 Issue: 2 Pages: I_105-I_111
  • DOI: 10.2208/jscejam.75.2_I_105
  • NAID: 130007795416
  • ISSN: 2185-4661
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Diffusion processes in random environments on disconnected self-similar fractal sets in R (2019)
  • Author(s): 高橋 弘，田村要造
  • Journal Title: 無限分解可能過程に関連する諸問題(23) Volume: 418 Pages: 105-110
• [Presentation] 非連結なフラクタル図形におけるランダム媒質中の 拡散過程の局在化 (2024)
  • Author(s): 高橋 弘
  • Organizer: 無限分解可能過程に関連する諸問題
• [Presentation] Localization of diffusion processes in Brownian environments on disconnected fractal sets in R (2024)
  • Author(s): 高橋 弘
  • Organizer: 新潟確率論ワークショップ
• [Presentation] Brox-diffusion と bi-generalized diffusion process（サーベイトーク） (2024)
  • Author(s): 高橋 弘
  • Organizer: 拡散過程セミナー
  • Invited
• [Presentation] 数直線の負側にのみ自己相似過程からなるポテンシャルをもつ拡散過程 (2024)
  • Author(s): 高橋 弘
  • Organizer: 拡散過程セミナー
  • Invited
• [Presentation] Diffusion processes in random environments on disconnected selfsimilar fractal sets in R (2023)
  • Author(s): Hiroshi Takahashi
  • Organizer: BOSTON UNIVERSITY-KEIO UNIVERSITY-TSINGHUA WORKSHOP 2023
  • Invited
• [Presentation] 片側自己相似ランダム媒質の中の拡散過程 (2023)
  • Author(s): 高橋 弘
  • Organizer: 無限分解可能過程に関連する諸問題
• [Presentation] １次元に満たない自己相似図形上のランダム媒質中の拡散過程の漸近挙動について (2021)
  • Author(s): 高橋 弘
  • Organizer: 東京確率論セミナー
  • Invited
• [Presentation] Brox's diffusion on disconnected selfsimilar fractal sets in R (2019)
  • Author(s): 高橋 弘
  • Organizer: 関西確率論セミナー
  • Invited
• [Presentation] Brox’s diffusion processes in disconnected self-similar fractal sets in R (2019)
  • Author(s): 高橋 弘
  • Organizer: 日本数学会2019年度秋季総合分科会
• [Presentation] Random processes on disconnected self-similar fractal sets in R (2018)
  • Author(s): 高橋 弘
  • Organizer: 無限分解可能過程に関連する諸問題