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高次元線形表現のモジュライ空間と3次元多様体の分解

Research Project

Project/Area Number 18K13404
Research Category

Grant-in-Aid for Early-Career Scientists

Allocation TypeMulti-year Fund
Review Section Basic Section 11020:Geometry-related
Research InstitutionThe University of Tokyo

Principal Investigator

北山 貴裕  東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (10700057)

Project Period (FY) 2018-04-01 – 2025-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
Fiscal Year 2018: ¥1,170,000 (Direct Cost: ¥900,000、Indirect Cost: ¥270,000)
Keywords3次元多様体 / 位相不変量 / 表現 / 交叉形式 / 離散群
Outline of Annual Research Achievements

高次元線形表現のモジュライ空間の幾何学の低次元トポロジーへの応用を基礎付け、当研究領域を育成することを目的として研究を行った。当該年度は、基本群の表現に付随する位相不変量の新しい応用として、特に、ねじれBlanchfield形式を用いてホモトピーリボンコンコーダンスと呼ばれる結び目の間の特別なコンコーダント関係を研究した。
Gilmerによって、結び目から結び目への滑らかなリボンコンコーダンスが存在するならば、最初の結び目のAlexander加群のある部分加群が存在して、その直交部分加群の当部分加群による商へのBlanchfield形式の制限が、もう一方の結び目のBlanchfield形式と等長になることが知られていた。Stefan Friedl氏、Lukas Lewark氏、Matthias Nagel氏、Mark Powell氏との共同研究において、この結果が滑らかなリボンコンコーダンスではなくホモトピーリボンコンコーダンスの存在へと仮定を弱めても成り立つことを示した。更に、これに基づいて、結び目に沿った二重分岐被覆空間のホモロジー群やLevine-Tristram符号関数に関する、ホモトピーリボンコンコーダンスが存在するための必要条件を与えた。
なお、2019年度から2022年度まで本研究課題を基課題とする研究課題「線形表現の高次元変形による本質的曲面の分布と複雑さの研究」(18KK0380)を実施した。新型コロナウイルス感染症拡大の影響により、特に出張を伴う研究活動が大きく制限されたが、ドイツ・レーゲンスブルク大学のStefan Friedl氏を主な共同研究者として、国際共同研究を進展させた。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

新たな方向への研究の展開として、ねじれ交叉形式及びねじれBlanchfield形式に着目した、基本群の表現に付随する不変量の4次元トポロジーへの応用研究が着実に進展した。本研究課題を基課題とする研究課題「線形表現の高次元変形による本質的曲面の分布と複雑さの研究」(18KK0380)の完了を経て、当研究課題から本研究課題への大きな寄与があった。
新型コロナウイルス感染症拡大の影響により、出張を伴う研究活動が大きく制限されたため、補助事業期間の再延長を行った。

Strategy for Future Research Activity

ドイツのレーゲンスブルク大学に研究滞在し、本研究課題を基課題とする研究課題「線形表現の高次元変形による本質的曲面の分布と複雑さの研究」(18KK0380)の共同研究者でもある、Stefan Friedl氏と密接な研究打ち合わせを行う予定である。当課題で得られた成果の本研究への更なる寄与についても模索する。また、本研究のテーマに基づいたセミナーを企画し、研究領域の育成・発展を図る。これまでに得られた成果を講演等により積極的に発信することを心掛け、研究を更に深める。

Report

(6 results)
  • 2023 Research-status Report
  • 2022 Research-status Report
  • 2021 Research-status Report
  • 2020 Research-status Report
  • 2019 Research-status Report
  • 2018 Research-status Report
  • Research Products

    (34 results)

All 2024 2022 2021 2020 2019 2018 2017 Other

All Int'l Joint Research (14 results) Journal Article (6 results) (of which Int'l Joint Research: 3 results,  Peer Reviewed: 6 results,  Open Access: 2 results) Presentation (12 results) (of which Int'l Joint Research: 7 results,  Invited: 12 results) Remarks (1 results) Funded Workshop (1 results)

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  • [Journal Article] A survey of the Thurston norm2022

    • Author(s)
      Takahiro Kitayama
    • Journal Title

      In the Tradition of Thurston II

      Volume: - Pages: 149-199

    • DOI

      10.1007/978-3-030-97560-9_5

    • ISBN
      9783030975593, 9783030975609
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    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] On Adjoint Homological Selmer Modules for SL2-Representations of Knot Groups2022

    • Author(s)
      Kitayama Takahiro、Morishita Masanori、Tange Ryoto、Terashima Yuji
    • Journal Title

      International Mathematics Research Notices

      Volume: 255 Issue: 23 Pages: 19801-19826

    • DOI

      10.1093/imrn/rnac255

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  • [Journal Article] Homotopy ribbon concordance, Blanchfield pairings, and twisted Alexander polynomials2021

    • Author(s)
      Friedl Stefan、Kitayama Takahiro、Lewark Lukas、Nagel Matthias、Powell Mark
    • Journal Title

      Canadian Journal of Mathematics

      Volume: - Issue: 4 Pages: 1-40

    • DOI

      10.4153/s0008414x21000183

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    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Character varieties of higher dimensional representations and splittings of 3-manifolds2021

    • Author(s)
      Hara Takashi、Kitayama Takahiro
    • Journal Title

      Geometriae Dedicata

      Volume: ー Issue: 1 Pages: 433-466

    • DOI

      10.1007/s10711-020-00590-y

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  • [Journal Article] Representation varieties detect essential surfaces2018

    • Author(s)
      Friedl Stefan, Kitayama Takahiro and Nagel Matthias
    • Journal Title

      Mathematical Research Letters

      Volume: 25 Issue: 3 Pages: 803-817

    • DOI

      10.4310/mrl.2018.v25.n3.a4

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    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] On certain $L$-functions for deformations of knot group representations2017

    • Author(s)
      Kitayama Takahiro、Morishita Masanori、Tange Ryoto、Terashima Yuji
    • Journal Title

      Transactions of the American Mathematical Society

      Volume: 370 Issue: 5 Pages: 3171-3195

    • DOI

      10.1090/tran/7037

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    • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
  • [Presentation] Thurston norm, twisted Euler characteristics and virtual fibering2024

    • Author(s)
      Takahiro Kitayama
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      The 19th Kagoshima Algebra-Analysis-Geometry Seminar
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      Takahiro Kitayama
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      Takahiro Kitayama
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      Se'minaire GT3, Institut de Recherche Mathe'matique Avance'e
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    • Author(s)
      Takahiro Kitayama
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      Takahiro Kitayama
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  • [Remarks] 北山研究室ホームページ

    • URL

      https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kitayama/index_j.html

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Published: 2018-04-23   Modified: 2024-12-25  

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