リーマン球面からグラスマン多様体への正則等長写像の研究
| Project/Area Number |
18K13411
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Hiroshima University (2022)
Meiji University (2018-2021) |
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Principal Investigator |
古賀 勇 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 研究員 (60782232)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000)
Fiscal Year 2021: ¥650,000 (Direct Cost: ¥500,000、Indirect Cost: ¥150,000)
Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2018: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
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| Keywords | 複素グラスマン多様体 / 四元数射影空間 / 3次元球面 / 同変調和写像 / 同変正則写像 / 表現論 / ベクトル束 / ゲージ理論 / 調和写像 / 正則写像 / 部分多様体 / 正則ベクトル束 / 調和解析 / 正則等長写像 / 同変写像 / 等質ベクトル束 / グラスマン多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
まず，複素射影直線から階数2の複素グラスマン多様体へのSU(2)同変正則写像の構成と分類の問題についてすでに得られていた結果を論文にまとめた．（長友康行氏（明治大学）との共同研究）そしてこの論文はOsaka Journal of Mathematicsから出版された．
次に上記結果の拡張として，複素射影直線から階数2の複素グラスマン多様体へのSU(2)同変調和写像の構成と分類の問題に関して前年度までに得られていた結果を論文にまとめた．この論文は現在投稿中である．
次に同変調和写像の分類問題への取り組みとして，(1)複素射影空間から四元数射影空間への調和写像の分類問題と(2)3次元球面から複素射影空間への調和写像の構成と分類問題について研究を行った．これらの問題に注目している研究者はこれまでにもいたが従来の手法では考察が難しかったため研究が進んでいなかったが，ゲージ理論を応用することでより洗練された結果を得ることを研究代表者は研究協力者の長友氏との共同研究で見出した．現在までの進捗は以下のとおりである．
(1) 四元数射影空間への調和写像は始集合上の階数2，次数0のベクトル束から誘導される．そのようなベクトル束の位相と接続が問題となるが，始集合が複素射影直線の場合は接続の分類に関してすでに調べており，2次元以上の複素射影空間上のベクトル束は次数が符号を除いて一致する直線束の直和になることがすぐにわかる．これらのことと四元数構造の存在に注意して，同変調和写像の分類結果を得た．
(2)3次元球面から複素射影空間への全実写像の構成・分類問題に注目した．この時考えるべきベクトル束は階数1の自明束である．したがって3次元球面上の滑らかな関数全体のなす空間のラプラシアンによる固有分解を考えることで，Liによるこの問題の先行結果をゲージ理論的に書き直すことができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初の計画では複素射影直線から階数2の複素グラスマン多様体への複素グラスマン多様体への非等質な正則等長写像の構成を目指していたが，この問題へ取り組む上での困難があったことから等質な写像の分類に方針転換したことが理由である．しかしこの新たな方向性の元では始集合を複素射影空直線以外に拡張するなど，一定の成果が上がっていることは注意しておく．
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| Strategy for Future Research Activity |
現在取り組んでいる(1)複素射影空間から四元数射影空間への調和写像の分類問題と(2)3次元球面から複素射影空間への全実調和写像の分類問題に取り組む．これまでの研究で一定の方向性は見出せているので，このまま推進し，論文を仕上げる予定である．
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Report
(5 results)
Research Products
(13 results)
