Cohomology of locally symmetric spaces and Langlands functoriality

• Project/Area Number: 19H01781
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 市野 篤史 京都大学, 理学研究科, 准教授 (40347480)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥17,290,000 (Direct Cost: ¥13,300,000、Indirect Cost: ¥3,990,000); Fiscal Year 2023: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000); Fiscal Year 2022: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000); Fiscal Year 2021: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000); Fiscal Year 2020: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000); Fiscal Year 2019: ¥3,770,000 (Direct Cost: ¥2,900,000、Indirect Cost: ¥870,000)
• Keywords: 局所対称空間 / ラングランズ関手性 / 代数的サイクル / p進L関数 / p進保型形式 / p進Abel-Jacobi写像 / コホモロジー / 関手性 / 保型形式 / テータ対応 / 絶対Hodgeサイクル

Outline of Research at the Start

本研究では、局所対称空間の数論幾何的な性質を、そのコホモロジーを通して調べる。局所対称 空間のコホモロジーは、解析的な対象である保型表現を使って実現される。一方で、保型表現の理論の核心には、ラングランズ関手性とよばれる特有の操作がある。このラングランズ関手性がコホモロジーに及ぼす影響を調べることで、局所対称空間がもつ数論幾何的な情報を明らかにする。

Outline of Annual Research Achievements

Kartik Prasanna（ミシガン大学）と共同で、楕円保型形式と虚二次体の量指標から定まる次数４のＬ関数の研究を行った。特にＬ関数の関数等式の符号が負の場合に、Ｌ関数の中心微分値と代数的サイクルの関係を明らかにすることを目標として研究を行っている。量指標がイデアル類群の指標の場合、Gross-Zagier公式により中心微分値がHeegner点とよばれる代数的サイクルの高さを使って表せることが知られている。この公式は１９８０年代に証明され、今まで様々な場合に拡張されてきた。そのひとつがBertolini-Darmon-Prasanna公式であり、これはより一般の量指標に対してｐ進Ｌ関数の中心値を一般Heegnerサイクルのｐ進高さ、すなわちｐ進Abel-Jacobi写像を使って表すものである。この公式においては無限素点における関数等式の符号が負と仮定する必要があるが、本研究では無限素点における関数等式の符号が正の場合を考察する。この場合は状況が一変し、先行研究における代数的サイクルの構成を適応しても有限集合しか得られないため、適切な設定を与えることが大きな障害として残っていた。昨年度までの研究において、２次Siegelモジュラー多様体上の代数的サイクルで２次ユニタリ群から定まるものが適切な設定を与えることが判明し、対応するｐ進保型形式の族のｐ進周期にはｐ進Ｌ関数に現れる修正Euler因子が生じることが確認できた。今年度はその研究をさらに推し進め、ｐ進保型形式をｐ除去化するために導入したHecke作用素の研究を行った。特に２次ユニタリ群に制限した上で通常射影を取れば、そのHecke作用素の作用が自明になることを証明した。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

昨年度に引き続き、楕円保型形式と虚二次体の量指標から定まる次数４のｐ進Ｌ関数の研究を、今年度の課題の中心に据えて研究活動を行った。共同研究者のPrasannaとは毎週オンラインでミーティングを行った。昨年度までの研究において、ｐ進Abel-Jacobi写像の像を求めるために必要なｐ進微分方程式を解き、その解をｐ進保型形式の族の極限として与えている。しかしその解を構成するためには、ある種のHecke作用素を人工的に導入し、ｐ進保型形式をｐ除去化する必要があった。最終的にはこのHecke作用素の影響を打ち消す必要があるが、GL(2)の場合には生じなかった現象が起こり、GSp(4)上のｐ進保型形式としては大きな困難が生じることが明らかになった。そのため研究は数ヶ月間停滞したものの、ｐ進保型形式を２次ユニタリ群に制限した上で通常射影を取れば、Hecke作用素の作用が自明になることが証明できた。この操作により当該ｐ進保型形式の情報は若干失われるものの、当該研究の目的のためには支障がなく、当初の困難を回避することに成功した。

Strategy for Future Research Activity

楕円保型形式と虚二次体の量指標から定まる次数４のｐ進Ｌ関数の研究の完了を目指す。既に多くの部分は完了しているものの、ｐ進保型形式の極限とｐ進Abel-Jacobi写像の像を関連付ける部分が残っている。当初はｐ進保型形式の極限が過収束であることから直ちに従うと考えていたが、実際は過収束ではないことが既に判明している。しかし対応するｐ進微分方程式の解は一意的ではないため、ｐ進保型形式の極限を過収束保型形式に修正できる可能性がある。このことは実素点で生じる導来関手加群の構造が密接に関係することも分かっているため、その構造を完全に具体的に書き下すことで過収束保型形式に修正する方法を模索する。

Research Products

• [Int'l Joint Research] ミシガン大学(米国)
• [Int'l Joint Research] ミシガン大学(米国)
• [Int'l Joint Research] University of Michigan(米国)
• [Int'l Joint Research] University of Michigan(米国)
• [Journal Article] Theta lifting for tempered representations of real unitary groups (2022)
  • Author(s): Ichino Atsushi
  • Journal Title: Advances in Mathematics Volume: 398 Pages: 108188-108188
  • DOI: 10.1016/j.aim.2022.108188
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Periods of Quaternionic Shimura Varieties. I. (2021)
  • Author(s): Ichino Atsushi、Prasanna Kartik
  • Journal Title: Contemporary Mathematics Volume: 762 Pages: 1-216
  • DOI: 10.1090/conm/762
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] The Automorphic Discrete Spectrum of Mp4 (2021)
  • Author(s): Gan Wee Teck、Ichino Atsushi
  • Journal Title: International Mathematics Research Notices Volume: 2021 Issue: 3 Pages: 1603-1677
  • DOI: 10.1093/imrn/rnaa121
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Presentation] Theta lifting and Langlands functoriality (2022)
  • Author(s): Atsushi Ichino
  • Organizer: Japan forum associated with ICM 2022
  • Invited
• [Presentation] Theta lifting and Langlands functoriality (2022)
  • Author(s): Atsushi Ichino
  • Organizer: Representations and Characters: Revisiting the Works of Harish-Chandra and Andre Weil, A satellite conference of the virtual ICM 2022
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Theta lifting and Langlands functoriality (2022)
  • Author(s): Atsushi Ichino
  • Organizer: Virtual ICM 2022
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Theta lifting and Langlands functoriality (2022)
  • Author(s): Atsushi Ichino
  • Organizer: Number Theory and Algebraic Geometry, ICM sectional workshop
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] 重さ半整数の保型形式 (2021)
  • Author(s): 市野篤史
  • Organizer: 日本数学会 2021 年秋季総合分科会
  • Invited
• [Presentation] Hodge classes and the Jacquet-Langlands correspondence (2019)
  • Author(s): Atsushi Ichino
  • Organizer: Arithmetic Geometry in Carthage
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] The automorphic discrete spectrum of Mp(4) (2019)
  • Author(s): Atsushi Ichino
  • Organizer: Workshop on Shimura varieties, representation theory and related topics
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Application of Arthur's multiplicity formula (2019)
  • Author(s): Atsushi Ichino
  • Organizer: 第22回整数論オータムワークショップ
  • Int'l Joint Research / Invited