Topological Study on Riemann Surfaces through Higher Cocycles

• Project/Area Number: 19H01784
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: Kawazumi Nariya 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30214646)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2022-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2022)
• Budget Amount: ¥17,030,000 (Direct Cost: ¥13,100,000、Indirect Cost: ¥3,930,000); Fiscal Year 2021: ¥6,500,000 (Direct Cost: ¥5,000,000、Indirect Cost: ¥1,500,000); Fiscal Year 2020: ¥5,200,000 (Direct Cost: ¥4,000,000、Indirect Cost: ¥1,200,000); Fiscal Year 2019: ¥5,330,000 (Direct Cost: ¥4,100,000、Indirect Cost: ¥1,230,000)
• Keywords: リーマン面 / ループ演算 / トゥラエフ余括弧積 / 写像類群 / 自由群の自己同型群 / ねじれ係数コホモロジー / 安定コホモロジー / タイヒミュラー空間 / モジュライ空間 / ゴールドマン・トゥラエフ・リー双代数 / 発散コサイクル / 線型コード図式 / オペラド / ジョンソン準同型 / 二重導分 / ゲート二重導分

Outline of Research at the Start

リーマン面すなわち曲面の写像類群の線型近似であるジョンソン準同型について、その像の完全な特徴付けを目指す。換言すると、様々な代数的な情報を動員して曲面の自己同型という幾何学的な対象を完全に記述することが目標である。代表者らの先行結果は、曲面の自由ループについてのコサイクルがその記述に有用であることを示唆している。そこで自由ループの高次コサイクルを実装することが研究の中心となる。その際、複素解析的およびグラフ・ホモロジー的なアプローチも採用する。関連して写像類群のねじれ係数コホモロジーを研究する。これらの問題を中心軸としてリーマン面を中心とした位相幾何学全般にわたる研究を推進する。

Outline of Final Research Achievements

We discovered a new geometric aspect of the Turaev cobracket by introducing the notion of a double gate derivative, and discovered a secondary operation for the Turaev cobracket. We computed the Tor group of
the stable cohomology of the mapping class group with coefficients in the exterior algebra of the first rational homology group of the unit tangent bundle of the surface with respect to the stable cohomology algebra with trivial coefficients up to the fifth exterior power. Such a Tor group had never been computed. We studied a twisted version of the Kawazumi-Zhang invariant. Moreover we introduced a certain operadic structure on the twisted stable cohomology group of the automorphism groups of free groups.

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

曲面の位相的な構造を深く研究するために、曲面上のループのなす演算、曲面の位相的な対称性を記述する写像類群および曲面の上のリーマン面の構造を分類するタイヒミュラー空間の研究を行なった。これら３つのそれぞれについて、新しいループ演算を発見し、写像類群の新しい定量的な研究方法を提案し、タイヒミュラー空間上のある函数についての新しい知見を得た。関連して、既存のループ演算についても新たな幾何的解釈を与え、写像類群と関わりの深い自由群の自己同型群について新たな研究の視点を提案した。

Research Products

• [Journal Article] On the wheeled PROP of stable cohomology of Aut(F_n) with bivariant coefficients (2023)
  • Author(s): Nariya Kawazumi and Christine Vespa
  • Journal Title: Algebraic and Geometric Topolory Volume: -
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Some algebraic aspects of the Turaev cobracket (2021)
  • Author(s): Kawazumi Nariya
  • Journal Title: Topology and Geometry Volume: - Pages: 329-356
  • DOI: 10.4171/irma/33-1/17
  • ISBN: 9783985470013, 9783985475018
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Goldman-Turaev formality implies Kashiwara-Vergne (2020)
  • Author(s): Alekseev Anton、Kawazumi Nariya、Kuno Yusuke、Naef Florian
  • Journal Title: Quantum Topology Volume: 11 Issue: 4 Pages: 657-689
  • DOI: 10.4171/qt/143
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
• [Presentation] Stable cohomology of the mapping class groups with some particular twisted coefficients (2022)
  • Author(s): Nariya Kawazumi
  • Organizer: Seminaire GT3, University of Strasbourg
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] A double version of Turaev’s gate derivatives (2021)
  • Author(s): Nariya Kawazumi
  • Organizer: RIMS 研究集会「Geometry of discrete groups and hyperbolic spaces」
  • Invited
• [Presentation] トポロジー ― 否定的なものを代数的に捉える (2021)
  • Author(s): 河澄響矢
  • Organizer: 2021年度教養総合「数理科学の最先端」
  • Invited
• [Presentation] リーマン面に関連する位相幾何学の問題 (2021)
  • Author(s): 河澄響矢
  • Organizer: RIMS 共同研究「複素幾何学の諸問題 II」
  • Invited
• [Presentation] 写像類群のリー代数を求めて (2021)
  • Author(s): 河澄響矢, 久野雄介
  • Organizer: 日本数学会秋季総合分科会トポロジー分科会幾何学分科会特別講演
  • Invited
• [Presentation] A double version of Turaev’s gate derivatives (2021)
  • Author(s): 河澄響矢
  • Organizer: 大阪大学トポロジーセミナー
  • Invited
• [Presentation] A double version of Turaev’s gate derivatives (2020)
  • Author(s): Nariya Kawazumi
  • Organizer: Teichmuller Theory: Classical, Higher, Super and Quantum
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] ゴールドマン括弧積と写像類群 (2020)
  • Author(s): 河澄響矢
  • Organizer: 研究集会「タイヒミュラー空間と双曲幾何学」
  • Invited
• [Presentation] The mapping class group orbits in the framings of compact surfaces (2020)
  • Author(s): Nariya Kawazumi
  • Organizer: Geometry and Topology seminar, University of Luxembourg
  • Invited
• [Presentation] Formality of the Goldman-Turaev Lie bialgebra and its applications (3)(4) (2020)
  • Author(s): Nariya Kawazumi
  • Organizer: Interactions entre algebre et geometrie
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] The Turaev cobracket and gate double derivatives (2019)
  • Author(s): Nariya Kawazumi
  • Organizer: Conference: New developments in quantum topology
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] グラフと曲線 (2019)
  • Author(s): 河澄響矢
  • Organizer: 高校生のための現代数学講座「いろいろな幾何学」
• [Presentation] Gate double derivatives (2019)
  • Author(s): Nariya Kawazumi
  • Organizer: Expansions, Lie algebras and Invariants
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Gate double derivatives (2019)
  • Author(s): Nariya Kawazumi
  • Organizer: Geometry and Topology seminar, University of Luxembourg
  • Invited
• [Presentation] Formality of the Goldman bracket (2019)
  • Author(s): Nariya Kawazumi
  • Organizer: Seminar "Homotopy Algebra and Geometry", University of Luxembourg
  • Invited
• [Presentation] A double version of Turaev's gate derivatives (2019)
  • Author(s): Nariya Kawazumi
  • Organizer: Seminaire Algebre et topologie, University of Strasbourg
  • Invited
• [Book] トポロジーの基礎 上 (2022)
  • Author(s): 河澄 響矢
  • Total Pages: 336
  • Publisher: 東京大学出版会
  • ISBN: 9784130629256
• [Book] トポロジーの基礎 下 (2022)
  • Author(s): 河澄 響矢
  • Total Pages: 416
  • Publisher: 東京大学出版会
  • ISBN: 9784130629263
• [Funded Workshop] The 14th MSJ-SI : New Aspects of Teichmuller theory (2022)
• [Funded Workshop] Johnson homomorphisms and related topics 2019 (2019)