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Geometry of the space of all variations of mixed Hodge structure over complex manifolds

Research Project

Project/Area Number 19H01787
Research Category

Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

Allocation TypeSingle-year Grants
Section一般
Review Section Basic Section 11020:Geometry-related
Research InstitutionOsaka University

Principal Investigator

糟谷 久矢  大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (80712611)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 後藤 竜司  大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (30252571)
藤野 修  京都大学, 理学研究科, 教授 (60324711)
Project Period (FY) 2019-04-01 – 2024-03-31
Project Status Granted (Fiscal Year 2023)
Budget Amount *help
¥16,900,000 (Direct Cost: ¥13,000,000、Indirect Cost: ¥3,900,000)
Fiscal Year 2023: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000)
Fiscal Year 2022: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000)
Fiscal Year 2021: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000)
Fiscal Year 2020: ¥3,510,000 (Direct Cost: ¥2,700,000、Indirect Cost: ¥810,000)
Fiscal Year 2019: ¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
Keywords混合ホッジ構造の変動 / 非可換ホッジ理論 / Equivariant正則ベクトル束 / Sullivan minimal model / 佐々木多様体 / ホッジ構造の変動 / canonical計量 / 自由ループ空間 / 非可換ホッジ構造 / Orbifold / Higher Page Hodge理論 / Quasi-Kahler manifold / 混合ホッジ構造 / ケーラー計量
Outline of Research at the Start

複素多様体をパラメーターとして複素幾何学的に良い振る舞いをしながら変化する混合ホッジ構造達のことをM上の混合ホッジ構造の変動と呼び、様々な観点から活発に研究されているが、複素多様体Mを固定しその上の混合ホッジ構造の変動の変動全体VMHS(M)についてはあまり多くのことが知られていない。本研究では既存の基点に依存したVMHS(M)の構造理論とは異なる体積形式による"積分"を基礎としたより微分幾何学的なVMHS(M)の構造理論を構築する。

Outline of Annual Research Achievements

コンパクトケーラー多様体では純粋なホッジ構造の変動全体に値を取るようなDe Rham-Dolbeault Double Complexにテンソル構造から定まるDifferential Graded Algebraの構造を考え、そのSullivan Minimal ModelのMorganの混合ホッジ構造を用いて構築した非可換混合ホッジ構造を取り出すことができるということが本研究における最重要事実であるが、これをより広いクラスの空間で行えるようになることを目的に本年度では、コンパクトケーラー多様体の自然なアナロジーでありコンパクトケーラー多様体から拡張された様々なクラスと関連するコンパクト佐々木多様体について研究を行った。Indranil Biswas氏と糟谷で共同で行ったコンパクト佐々木多様体上の調和束とHiggs束の理論を用いて, 局所系のテンソル構造から定まるDifferential Graded Algebraの構造において特に重要なFormalityという性質について調べた。一般には佐々木多様体においては半単純局所系に値を取るDe Rham ComplexではFormalityが成立しないが、本研究ではAlmost-FormalityというFormalityにより近い性質を満たすことが示された。これにより5次元以上の佐々木多様体では基本群に関わるテンソル構造から定まるDifferential Graded Algebraの構造(低次の構造)についてはコンパクトケーラー多様体と同様に取り扱えることが見出された。
また、佐々木多様体上で純粋なホッジ構造の変動について理論の構築を行った。コンパクトケーラー多様体において重要であったuniformization型定理の佐々木版を確立することができた。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

特異性のある状況について未だ見通しの良い研究方策を打ち出せていないため。

Strategy for Future Research Activity

今後は多様体上で、ある種の特異性を持った混合ホッジ構造の変動全体の研究を行う。まず特異性のない場合と同様に対応する非可換混合ホッジ構造を取り出すことを目指す。特異性を持った純粋なホッジ構造の変動全体に関して、多様体の特異点を抜いた空間(Open Variery)あるいは特異点の情報を加味したカテゴリー(特にorbifold)上De Rham-Dolbeault Double Complexとして定義されるDifferential Graded Algebraの構造を考えて、そのSullivan Minimal ModelのMorganの混合ホッジ構造を構成する。ここから定まる代数的な混合ホッジ構造の変動モデルからある種の特異性を持った幾何学的な混合ホッジ構造の変動を構成する手法を構築する。

Report

(4 results)
  • 2022 Annual Research Report
  • 2021 Annual Research Report
  • 2020 Annual Research Report
  • 2019 Annual Research Report
  • Research Products

    (17 results)

All 2023 2022 2021 2020 2019 Other

All Int'l Joint Research (3 results) Journal Article (10 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Peer Reviewed: 8 results) Presentation (3 results) (of which Int'l Joint Research: 3 results,  Invited: 3 results) Funded Workshop (1 results)

  • [Int'l Joint Research] Toulouse University(フランス)

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  • [Journal Article] Cohomology of holomorphic line bundles and Hodge symmetry on Oeljeklaus-Toma manifolds2023

    • Author(s)
      Hisashi Kasuya
    • Journal Title

      European Journal of Mathematics

      Volume: 9 Issue: 3

    • DOI

      10.1007/s40879-023-00646-9

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    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Uniformizations of Compact Sasakian Manifolds2023

    • Author(s)
      Kasuya Hisashi、Miyatake Natsuo
    • Journal Title

      International Mathematics Research Notices

      Volume: - Issue: 10 Pages: 8313-8328

    • DOI

      10.1093/imrn/rnad227

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  • [Journal Article] Higgs bundles and flat connections over compact Sasakian manifolds, II2023

    • Author(s)
      Indranil Biswas, Hisashi Kasuya
    • Journal Title

      Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze

      Volume: 33 Pages: 33-33

    • DOI

      10.2422/2036-2145.202203_024

    • Related Report
      2022 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Almost-formality and deformations of representations of the fundamental groups of Sasakian manifolds2023

    • Author(s)
      Kasuya Hisashi
    • Journal Title

      Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923 -)

      Volume: 未定 Issue: 4 Pages: 1793-1801

    • DOI

      10.1007/s10231-023-01301-6

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      2021 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] FROLICHER SPECTRAL SEQUENCE AND HODGE STRUCTURES ON THE COHOMOLOGY OF COMPLEX PARALLELISABLE MANIFOLDS2023

    • Author(s)
      KASUYA H.、STELZIG J.
    • Journal Title

      Transformation Groups

      Volume: 未定 Issue: 4 Pages: 1595-1606

    • DOI

      10.1007/s00031-022-09785-x

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      2021 Annual Research Report
    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Extended simplicial rational Nomizu’s Theorem and Sullivan’s minimal models for non-nilpotent groups2022

    • Author(s)
      Kasuya Hisashi
    • Journal Title

      Geometriae Dedicata

      Volume: 216 Issue: 3

    • DOI

      10.1007/s10711-022-00691-w

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      2021 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Non-invariant deformations of left-invariant complex structures on compact Lie groups2022

    • Author(s)
      Hiroaki Ishida and Hisashi Kasuya
    • Journal Title

      Forum Mathematicum

      Volume: 34 Issue: 0 Pages: 907-918

    • DOI

      10.1515/forum-2021-0133

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      2020 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Morgan’s mixed Hodge structures and nonabelian Hodge structures2021

    • Author(s)
      Kasuya Hisashi
    • Journal Title

      Communications in Algebra

      Volume: 未定 Issue: 6 Pages: 1-24

    • DOI

      10.1080/00927872.2021.1880590

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      2019 Annual Research Report
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  • [Journal Article] Higgs Bundles and Flat Connections Over Compact Sasakian Manifolds2021

    • Author(s)
      Biswas Indranil、Kasuya Hisashi
    • Journal Title

      Communications in Mathematical Physics

      Volume: 未定 Issue: 1 Pages: 267-290

    • DOI

      10.1007/s00220-021-04056-4

    • Related Report
      2019 Annual Research Report
  • [Journal Article] Remarks on Dolbeault cohomology of Oeljeklaus-Toma manifolds and Hodge theory2020

    • Author(s)
      Kasuya Hisashi
    • Journal Title

      Proceedings of the American Mathematical Society

      Volume: 未定 Issue: 7 Pages: 1-1

    • DOI

      10.1090/proc/15436

    • Related Report
      2019 Annual Research Report
  • [Presentation] Higgs bundles and uniformizations of compact Sasakian manifolds.2023

    • Author(s)
      糟谷久矢
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      The 7th Workshop "Complex Geometry and Lie Groups"
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    • Author(s)
      糟谷久矢
    • Organizer
      The 12th GTSS GEOMETRY-TOPOLOGY SUMMER SCHOOL
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  • [Presentation] DGA-Models of Variations of Mixed Hodge Structures2019

    • Author(s)
      Hisashi Kasuya
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      Interaction Between Algebraic Geometry and QFT
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  • [Funded Workshop] Workshop on Complex Geometry in Osaka 20242023

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Published: 2019-04-18   Modified: 2024-12-25  

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