| Project/Area Number |
19H01798
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
宍倉 光広 京都大学, 理学研究科, 教授 (70192606)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
奥山 裕介 京都工芸繊維大学, 基盤科学系, 教授 (00334954)
稲生 啓行 京都大学, 理学研究科, 准教授 (00362434)
石井 豊 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20304727)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥17,030,000 (Direct Cost: ¥13,100,000、Indirect Cost: ¥3,930,000)
Fiscal Year 2023: ¥3,250,000 (Direct Cost: ¥2,500,000、Indirect Cost: ¥750,000)
Fiscal Year 2022: ¥3,250,000 (Direct Cost: ¥2,500,000、Indirect Cost: ¥750,000)
Fiscal Year 2021: ¥3,250,000 (Direct Cost: ¥2,500,000、Indirect Cost: ¥750,000)
Fiscal Year 2020: ¥3,250,000 (Direct Cost: ¥2,500,000、Indirect Cost: ¥750,000)
Fiscal Year 2019: ¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000)
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| Keywords | 力学系 / 分岐 / くりこみ / カオス / フラクタル / タイヒミュラー空間 |
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| Outline of Research at the Start |
シンプルで決定論的な力学系はしばしば複雑で予測不可能な挙動（カオス）を示す．カオス的力学系ののパラメータを変化させると，一つのタイプの分岐現象（力学系全体の挙動が変化）が別のタイプの分岐を引き起こし，パラメータ空間の中の分岐パラメータの集合は入り組んだ階層的構造（フラクタルなど）をもつ．この階層的構造は、くりこみと呼ばれる概念により説明されることが多い。
本研究では，カオス的挙動をもつ実および複素の低次元力学系に的を絞って，分岐現象（特に大域的な力学系の構造の分岐）を理解することを目指す．そのためには，トポロジー的方法，実解析的方法，複素解析的方法、数論的方法などを援用する．
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| Outline of Annual Research Achievements |
宍倉は、複素力学系のくりこみに関する研究を行った。2次元球面の位相的分岐被覆の中で有理写像を特徴付けるThurstonの定理では、穴あき球面の有限次元Teichmuller空間への作用を誘導し、その反復合成の極限挙動（特に理想境界へ集積する際の退化）を研究することが重要であった。このアイデアを擬多項式型のくりこみに対して適用することを目指した研究を開始した。このタイプのくりこみを無限次元Teichmuller空間を用いた表現とその境界挙動について研究した。また、有理写像の退化極限に付随する樹木上の区分線形写像については、Per_nと呼ばれる2次有理写像の超吸引的n周期点をもつパラメータ集合の構造の研究に応用できることがわかってきた。
石井は、主に九州大学の弘中祐希氏とともに、ホースシューやそれが少し退化した場合の実へノン写像の記号力学系について、それまでの Bedford-Smillie の結果を拡張した。また Warwick 大学の Thomas Richards 氏とともに、複素へノン写像族のホースシュー領域の基本群の2シフトの自己同型群へのモノドロミー作用について予備的考察を行った。
稲生は、2つの二次多項式の合成で得られる双二次多項式について、その分岐測度を仮想現実可視化手法で研究し、その台の「穴」の存在を示すため，Lebedevの不等式を用いて新しいFatou座標の評価方法を与え，放物型パラメータの近傍が台と交わらないことを区間演算で示した．
奥山は、有理関数の力学系モヂュライ空間における放物型分岐部分の乗数多項式に対する円分終結式を用いた記述を与えた。さらに、非アルキメデス的力学系における潜在的良還元の非存在の下でのBerkovichファトウ集合での大域的非線型性について研究した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
宍倉は京都大学の松田凌氏と共に、無限次元Teichmuller空間の研究を構造に関する研究を進めており、これを複素力学系のくりこみに応用していく予定である。また、有理写像の退化極限に付随する樹木上の区分線形写像については、Puiseaux級数の体よりも大きな体を考察することが、無理数点で分岐を許す樹木を記述するために必要であることがわかってきた。これらの研究を宍倉は進めていく予定である。
稲生は複素力学系のパラメータ空間の分岐集合・分岐測度について、石井は実および複素エノン写像の記号表現について、奥山は数論的力学系についての研究で成果を上げている。
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| Strategy for Future Research Activity |
2022年度は、コロナ禍で研究の交流がまだ行いにくい状況であったが、それでもいくつかの研究集会等に参加することができた。2023年度は、Mart-Pete氏とのArnold族の共同研究や、Arfeux氏らとの複素力学系の退化極限に関する共同研究を再開する予定である。また、
国際交流が再開次第、Mart-Pete氏との共同研究を継続する予定である。また、Arfeux氏との数論的力学系の 樹木上の区分線形力学系からの構成問題についても共同研究として取り組む予定である。また、近放物型くりこみに関して、必要な高いタイプの無理数に関す る、数値計算を用いたよりよい評価も行っていく予定である。複素力学系に関する国際研究集会を開き、研究 交流、共同研究の場とするようにしていきたい。
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