Finite type invariants and Milnor invariants for welded string links

• Project/Area Number: 19J00006
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 和田 康載 大阪大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
• Project Period (FY): 2019-04-25 – 2022-03-31
• Project Status: Declined (Fiscal Year 2021)
• Budget Amount: ¥4,030,000 (Direct Cost: ¥3,100,000、Indirect Cost: ¥930,000); Fiscal Year 2021: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000); Fiscal Year 2020: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000); Fiscal Year 2019: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
• Keywords: 仮想絡み目 / ウェルデッド絡み目 / Dabkowski-Sahi不変量 / 4-move / CF-move / ミルナー不変量 / 有限型不変量 / ウェルデッドストリング絡み目

Outline of Research at the Start

本研究の目的はウェルデッドストリング絡み目の有限型不変量の幾何的特徴付けを与えることである．研究目的を達成する為に，ウェルデッドストリング絡み目のクラスを三つ考え，各々のクラスに対して有限型不変量の幾何学的特徴付けを与えるという手法で段階的に研究を進めてゆく．より具体的な研究計画は以下の通りである．
（段階1）ブルニアン型のウェルデッドストリング絡み目の有限型不変量の幾何学的特徴付けを与える．
（段階2）各成分が自明であるウェルデッドストリング絡み目の有限型不変量の幾何学的特徴付けを与える．
（段階3）ウェルデッドストリング絡み目の有限型不変量の幾何学的特徴付けを与える（すなわち，研究目的の達成）．

Outline of Annual Research Achievements

本年度は、Dabkowski-Sahi不変量と呼ばれる絡み目の不変量を用いて、（ウェルデッド）絡み目に対して4-moveと呼ばれる局所変形に関する研究を行なった。Dabkowski-Sahi不変量は、絡み目補空間の基本群のある商群として定義され、4-moveで不変であるという性質をもつ。この不変量は絡み目を区別するための強力な不変量である。一方で、与えられた二つの絡み目のDabkowski-Sahi不変量が同型か否かを判定することは一般に難しく、その判定法を開発することは重要な課題である。そこで、津田塾大学の宮澤治子氏および早稲田大学の安原晃氏との共同研究で、与えられた絡み目と、自明な絡み目のDabkowski-Sahi不変量が同型であるための必要条件を与えた。そして、与えられた絡み目と自明な絡み目が4-moveで移り合うための必要条件を与えた。これらの結果を絡み目の一般化であるウェルデッド絡み目へ拡張することで、絡み数が0であり、4-moveの有限列で自明な2成分絡み目に移り合えない、2成分ウェルデッド絡み目が存在することを証明した。以上の研究成果は共著論文としてまとめられ、査読付き国際学術雑誌へ現在投稿中である。
また、仮想絡み目に対してCF-moveと呼ばれる局所変形に関する研究も行なった。この局所変形は、T. Oikawaにより導入され、仮想結び目に対する結び目解消操作になることが示された。さらに、2成分仮想絡み目のCF-moveによる分類が与えられた。この結果の拡張として、任意の成分数の奇仮想絡み目および概奇仮想絡み目、そして、3成分偶仮想絡み目のCF-moveによる分類を与えた。これにより、3成分仮想絡み目のCF-moveによる完全分類を与えることに成功した。以上の研究成果は単著論文としてまとめられ、査読付き国際学術雑誌へ現在投稿中である。

Research Progress Status

翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。

Research Products

• [Journal Article] Milnor invariants, $2n$-moves and $V^{n}$-moves for welded string links (2021)
  • Author(s): Haruko A. Miyazawa, Kodai Wada, Akira Yasuhara
  • Journal Title: Tokyo Journal of Mathematics Volume: 印刷中 Issue: -1
  • DOI: 10.3836/tjm/1502179315
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Generalized virtualization on welded links (2020)
  • Author(s): Haruko A. Miyazawa, Kodai Wada, Akira Yasuhara
  • Journal Title: Journal of the Mathematical Society of Japan Volume: 印刷中 Issue: 3 Pages: 923-944
  • DOI: 10.2969/jmsj/82248224
  • NAID: 130007879407
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Presentation] Classification of 2-component virtual links up to Xi-moves (2020)
  • Author(s): Kodai Wada
  • Organizer: The First Korea-Russia Conference on Knot theory and Related Topics
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] ウェルデッド絡み目のミルナー不変量 (2020)
  • Author(s): 和田康載
  • Organizer: 第67回トポロジーシンポジウム
  • Invited
• [Presentation] 絡み目のDabkowski-Sahi不変量と4-move (2020)
  • Author(s): 和田康載
  • Organizer: 日本数学会2020年度秋季総合分科会
• [Presentation] CF-moves on virtual links (2020)
  • Author(s): 和田康載
  • Organizer: 研究集会「拡大KOOKセミナー2020」
• [Presentation] The Dabkowski-Sahi invariant and 4-moves for links (2020)
  • Author(s): Kodai Wada
  • Organizer: Friday Seminar on Knot Theory
  • Invited
• [Presentation] ウェルデッド絡み目のミルナー不変量 (2020)
  • Author(s): 和田康載
  • Organizer: 大阪大学トポロジーセミナー
  • Invited
• [Presentation] ミルナー不変量入門 (2020)
  • Author(s): 和田康載
  • Organizer: 大阪大学トポロジーセミナー
  • Invited
• [Presentation] Classification of string links up to 2n-moves and link-homotopy (2019)
  • Author(s): 和田康載
  • Organizer: 日本数学会2019年度秋季総合分科会
• [Presentation] Xi-moves on virtual links (2019)
  • Author(s): 和田康載
  • Organizer: 研究集会「拡大KOOKセミナー2019」
• [Presentation] Diagrammatic calculation of Milnor invariants (Exercises) (2019)
  • Author(s): 和田康載
  • Organizer: 研究会「ハンドル体結び目とその周辺12」
  • Invited
• [Presentation] Obstructions to trivializing links by n-moves (2019)
  • Author(s): 和田康載
  • Organizer: 大阪大学トポロジーセミナー
  • Invited
• [Presentation] Milnor不変量と2n-move について (2019)
  • Author(s): 和田康載
  • Organizer: N-KOOKセミナー
  • Invited