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スペクトル掛け算作用素の有界性とその関数空間論への応用

Research Project

Project/Area Number 19J00206
Research Category

Grant-in-Aid for JSPS Fellows

Allocation TypeSingle-year Grants
Section国内
Review Section Basic Section 12010:Basic analysis-related
Research InstitutionNagoya University

Principal Investigator

谷口 晃一  名古屋大学, 多元数理科学研究科, 特別研究員(PD)

Project Period (FY) 2019-04-25 – 2022-03-31
Project Status Declined (Fiscal Year 2021)
Budget Amount *help
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
Keywordsスペクトル掛け算作用素 / Besov空間 / 消散型波動方程式 / 測度距離空間 / 時間大域解 / 半線形熱方程式 / 解の挙動 / シュレディンガー方程式 / 外部問題 / Strichartz型評価式
Outline of Research at the Start

フーリエ解析や関数空間論は偏微分方程式の研究において重要な役割を果たしており、これらの理論の発展により、偏微分方程式で記述される自然現象をより深く精密に理解することが可能となった。本研究の目的は、フーリエ解析の代わりにスペクトル理論を用いることで、より一般的な設定の下で関数空間論を構築することである。本研究は、様々な非線形偏微分方程式の研究において基本的かつ重要な道具となることが期待される。

Outline of Annual Research Achievements

スペクトル掛け算作用素とは, 自己共役作用素のスペクトル分解によって定義される作用素の関数のことである. この作用素はフーリエ掛け算作用素の一般化になっており, 様々な設定で偏微分方程式や関数空間を扱うことを可能にする. 本研究は, この作用素を用いて抽象的な枠組みで関数空間を定義し, 非線形偏微分方程式の理論に応用することを目指している.
今年度は, 測度距離空間上における自己共役作用素により定義されるソボレフ空間・ベゾフ空間に関する双線形評価式や各種関数不等式の研究を行った. 自己共役作用素に関して, その熱半群が generalized Gaussian estimates を満たすという仮定を課している. この仮定を満たす自己共役作用素は数多く知られている. 例えば, ディリクレラプラシアン, シュレーディンガー作用素, ラプラス・ベルトラミ作用素, 分数階ラプラシアンなどがある. さらに, 測度距離空間上の消散型波動方程式をスペクトル理論に基づいて研究した. 線形消散型波動方程式の解に対するLp-Lq 評価式を証明し, この結果を応用して, 冪乗型非線形項をもつ消散型波動方程式の小さい初期値に対する時間大域解の存在を示した. 本結果は方程式の主要部が通常のラプラシアンだけではなく, 上記で述べた各種自己共役作用素に置き換えた方程式に対する結果も含んでいる. 現在, 本結果に関する論文を執筆中であり, 海外の学術雑誌に投稿する予定である. 今後は, 測度距離空間上の波動方程式の Lp 評価式の研究に取り組む予定である. この Lp 評価式が確立されれば上述の消散型波動方程式の研究成果を改良することが可能である.

Research Progress Status

翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。

Report

(2 results)
  • 2020 Annual Research Report
  • 2019 Annual Research Report
  • Research Products

    (16 results)

All 2020 2019 Other

All Int'l Joint Research (1 results) Journal Article (1 results) (of which Peer Reviewed: 1 results) Presentation (14 results) (of which Int'l Joint Research: 5 results,  Invited: 8 results)

  • [Int'l Joint Research] University of Pisa(イタリア)

    • Related Report
      2019 Annual Research Report
  • [Journal Article] Bilinear estimates in Besov spaces generated by the Dirichlet Laplacian2020

    • Author(s)
      T. Iwabuchi, T. Matsuyama and K. Taniguchi
    • Journal Title

      J. Math. Anal. Appl.

      Volume: 494 Issue: 2 Pages: 124640-124640

    • DOI

      10.1016/j.jmaa.2020.124640

    • Related Report
      2020 Annual Research Report
    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Dissipation and blow up for the Hardy-Sobolev parabolic equation below the ground state2020

    • Author(s)
      谷口 晃一
    • Organizer
      京都大学NLPDEセミナー
    • Related Report
      2020 Annual Research Report
  • [Presentation] Hardy-Sobolev型半線型熱方程式の解の挙動2020

    • Author(s)
      谷口 晃一
    • Organizer
      広島数理解析セミナー
    • Related Report
      2020 Annual Research Report
  • [Presentation] Hardy-He’non型半線型熱方程式の解の挙動2020

    • Author(s)
      千頭 昇, 池田 正弘, 谷口 晃一
    • Organizer
      日本数学会2020年度秋季総合分科会
    • Related Report
      2020 Annual Research Report
  • [Presentation] Global dynamics for semilinear heat equations in energy spaces associated with self-adjoint operators2020

    • Author(s)
      K. Taniguchi
    • Organizer
      Dispersive and subelliptic PDEs (Scuola Normale Superiore, Italy)
    • Related Report
      2019 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Global dynamics for semilinear heat equations in energy spaces associated with self-adjoint operators2020

    • Author(s)
      K. Taniguchi
    • Organizer
      Workshop Dispersive Equations of Math Physics (University of Pisa)
    • Related Report
      2019 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 外部領域におけるSchr\"odinger方程式のStrichartz評価式2019

    • Author(s)
      K. Taniguchi
    • Organizer
      応用数理解析セミナー (東北大学)
    • Related Report
      2019 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Dissipation and blow-up for semilinear heat equations in general energy spaces2019

    • Author(s)
      M. Ikeda and K. Taniguchi
    • Organizer
      日本数学会 (金沢大学)
    • Related Report
      2019 Annual Research Report
  • [Presentation] Fractional Leibniz rule for the Dirichlet Laplacian in an exterior domain2019

    • Author(s)
      K. Taniguchi
    • Organizer
      第9回岐阜数理科学研究会
    • Related Report
      2019 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Gradient estimates for heat equation in an exterior domain2019

    • Author(s)
      K. Taniguchi
    • Organizer
      12th ISAAC Congress (University of Aveiro, Portugal)
    • Related Report
      2019 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Endpoint Strichartz estimates for Schr\"odinger equations on exterior domains2019

    • Author(s)
      K. Taniguchi
    • Organizer
      12th ISAAC Congress (University of Aveiro, Portugal)
    • Related Report
      2019 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Dissipation and blow-up for focusing semilinear heat equations in general energy spaces2019

    • Author(s)
      K. Taniguchi
    • Organizer
      信州大学偏微分方程式研究集会 (信州大学)
    • Related Report
      2019 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Gradient estimates for heat equation in an exterior domain2019

    • Author(s)
      K. Taniguchi
    • Organizer
      Applications to Mathematics in Engineering and Economics (Bulgaria)
    • Related Report
      2019 Annual Research Report
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 外部領域における熱方程式の勾配微分評価式とその双線形評価式への応用2019

    • Author(s)
      K. Taniguchi
    • Organizer
      第161回神楽坂解析セミナー (東京理科大学)
    • Related Report
      2019 Annual Research Report
    • Invited
  • [Presentation] Gradient estimates for heat equation in an exterior domain2019

    • Author(s)
      K. Taniguchi
    • Organizer
      名古屋微分方程式セミナー (名古屋大学)
    • Related Report
      2019 Annual Research Report
    • Invited

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Published: 2019-05-29   Modified: 2024-03-26  

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