代数曲線の族に付随する基本群スキームの比較準同型の研究とその応用

Research Project

Project/Area Number	19J00366
Research Category	Grant-in-Aid for JSPS Fellows
Allocation Type	Single-year Grants
Section	国内
Review Section	Basic Section 11010:Algebra-related
Research Institution	The University of Tokyo
Principal Investigator	小田部秀介東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 特別研究員(PD)
Project Period (FY)	2019-04-25 – 2022-03-31
Project Status	Declined (Fiscal Year 2021)
Budget Amount *help	¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000) Fiscal Year 2021: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000) Fiscal Year 2020: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000) Fiscal Year 2019: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
Keywords	基本群スキーム / 正標数 / 線型簡約群スキーム / 代数曲線 / p階数 / 法pモチビックコホモロジー / 不分岐コホモロジー / ゼロサイクル / 有限平坦主束 / 逆ガロア問題 / 埋め込み問題 / ルートスタック / 単純群スキーム / Cartan型Lie代数 / 一般Kostrikin-Shafarevich予想
Outline of Research at the Start	与えられた代数多様体に対しその基本群スキームは有限平坦主束を分類する基本群として定義される。代数多様体の退化、還元によってコホモロジーや基本群などの不変量がどのように振る舞うかを理解することは重要である。本研究では、基本群スキームに対してこれを問い、関連する課題に取り組む。
Outline of Annual Research Achievements	主に以下の2つの課題に取り組んだ: (1) 法p不分岐コホモロジーの双有理不変性, (2) 正標数の代数曲線の線型簡約基本群概形の余特殊化写像およびその応用. 以下で課題(1), (2)それぞれにおいて得られた成果について説明をする. (1) 成果として, 法p不分岐コホモロジーの双有理不変性に関する問題の肯定的解決が挙げられる. 正標数p>0の体上定義された固有スムーズ代数多様体が普遍的に自明なゼロサイクルのなすChow群を持つならば, そのコホモロジカルブラウアー群も自明であることが知られていた. その結果をより一般の法p不分岐エタールモチビックコホモロジーにまで拡張することに成功した. 法p不分岐エタールモチビックコホモロジーが一般にホモトピー不変でないことが問題を非自明にしていたが, ある種のtame部分群を考察することによりこれを克服した. 与えた証明は古典的な道具立てだけで構成されている. またコホモロジーの具体的な記述や剰余写像の計算によるものであり, 今回行った計算は有理性問題などの具体的な問題に対しても有用であろうと期待される. さらに関連した問題にも取り組み, 国内の専門家2名と議論を重ね, 一定の理解に辿り着いた. (2) 正標数の代数曲線の線型簡約基本群スキームについて前年度までにある程度成果が得られていたが, モジュライ依存性や数値的不変量の復元についてアフィン代数曲線の場合は不十分な点が多く残されていた. 今年度, 研究を進めたことにより, これらについて大きく理解が進んだ. 特に双曲的代数曲線の場合は, 種数やカスプ点集合の濃度, p階数といった数値的不変量が線型簡約基本群スキームで復元できることがわかった. これについては正標数の幾何的基本群の遠アーベル幾何学に詳しい専門家からの助言によって明らかにすることができた事実である.
Research Progress Status	翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。
Strategy for Future Research Activity	翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。