岩澤理論の同変化と精密化

• Project/Area Number: 19J00763
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Keio University
• Principal Investigator: 片岡 武典 慶應義塾大学, 理工学部, 特別研究員(PD)
• Project Period (FY): 2019-04-25 – 2022-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2021)
• Budget Amount: ¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000); Fiscal Year 2021: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000); Fiscal Year 2020: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000); Fiscal Year 2019: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
• Keywords: 岩澤理論 / 岩澤主予想 / イデアル類群 / Fittingイデアル / 同変玉河数予想 / 岩澤加群 / 楕円曲線 / Stark系

Outline of Research at the Start

岩澤理論は，イデアル類群や楕円曲線といった数論的に興味深い対象を研究する，強力な理論である．本研究の目的は，様々な文脈で岩澤理論を同変的に拡張することである．ここで同変という用語は，従来はアーベル群としてしか調べていなかった対象を，ガロア群の作用も込めて調べる，というようなことを意味する．これにより，従来よりも精密な結果を得ることができる．

Outline of Annual Research Achievements

1. G_mの同変玉河数予想のマイナス成分について研究した(熱田真大氏との共同研究)．同変玉河数予想は，代数的な対象と解析的な対象の結びつきを主張する，広範な予想である．本研究では，DasguptaとKakdeによるBrumer-Stark予想の証明に触発されて，G_mの同変玉河数予想のマイナス成分を，緩い仮定の下で証明した．
2. イデアル類群のFittingイデアルの考察を発端として，加群の新たな同値の概念を導入して研究した(Cornelius Greither氏との共同研究)．本研究課題では既に，イデアル類群のマイナス成分のFittingイデアルについて詳細な観察をしていた．その観察をきっかけとして，Fittingイデアルを可逆イデアルのズレを除いて知っているような，加群の新たな同値関係を導入した．さらに，この同値関係のさまざまな性質を調べた．例えば，私が以前導入した公理的なFitting不変量やそのシフトの理論との関係を調べた．また，この同値関係による商集合の構造を調べた．
3. 一般のモチーフに対する主予想について研究した(佐野昂迪氏との共同研究)．具体的には，高階の設定での主予想を定式化したり，いくつかの仮定の下で，Euler系の理論を用いて片側の可除性を証明した．このために，本研究課題で既に構築していた，Stark系の理論の進展を利用した．
4. 保型型式の同変岩澤理論について研究した．まず，上記 3. の成果を応用することにより，Beilinson-加藤のzeta元を用いて主予想を定式化し，いくつかの仮定の下で，その片側の可除性を確かめた．さらに，p進L関数を用いた主予想の定式化のために，同変Coleman写像を構成して調べた．このために，LoefflerやZerbes等によるWach加群を用いた岩澤理論の一連の研究を応用した．

Research Progress Status

令和3年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

令和3年度が最終年度であるため、記入しない。

Research Products

• [Int'l Joint Research] Universitaet der Bundeswehr Muenchen(ドイツ)
• [Journal Article] Stark systems and equivariant main conjectures (2022)
  • Author(s): Takenori Kataoka
  • Journal Title: Osaka Journal of Mathematics Volume: 59(2) Pages: 417-452
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Journal Article] Fitting ideals of p-ramified Iwasawa modules over totally real fields (2021)
  • Author(s): Greither Cornelius, Kataoka Takenori, Kurihara Masato
  • Journal Title: Selecta Mathematica Volume: 28 Issue: 1 Pages: 1-48
  • DOI: 10.1007/s00029-021-00731-5
  • Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
• [Journal Article] Finite submodules of Iwasawa modules for multi-variable extensions (2021)
  • Author(s): Kataoka Takenori
  • Journal Title: Journal of Number Theory Volume: - Pages: 228-250
  • DOI: 10.1016/j.jnt.2021.12.003
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Fitting ideals in two-variable equivariant Iwasawa theory and an application to CM elliptic curves (2021)
  • Author(s): Takenori Kataoka
  • Journal Title: Tokyo Journal of Mathematics Volume: -
  • Peer Reviewed
• [Presentation] 超特異還元を持つ楕円曲線の高余次元岩澤理論 (2022)
  • Author(s): 片岡武典
  • Organizer: 九大代数学セミナー
  • Invited
• [Presentation] Brumer-Stark予想の証明の概要 (2022)
  • Author(s): 片岡武典
  • Organizer: Dasgupta Kakdeの最近の仕事とその周辺Workshop
• [Presentation] G_mの同変玉河数予想のマイナス成分について (2022)
  • Author(s): 片岡武典
  • Organizer: Dasgupta Kakdeの最近の仕事とその周辺Workshop
• [Presentation] 加群の新たな同値の概念とFittingイデアル (2022)
  • Author(s): 片岡武典
  • Organizer: 2022早稲田整数論研究集会
  • Invited
• [Presentation] Finite submodules of Iwasawa modules for multi-variable extensions (2021)
  • Author(s): Takenori Kataoka
  • Organizer: Oberseminar Arithmetische und Algebraische Geometrie
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Gross-ZagierとKolyvaginの定理およびJ_0(p)のwinding商 (2021)
  • Author(s): 片岡武典
  • Organizer: 2021年度(第28回)整数論サマースクール「モジュラー曲線と数論」
  • Invited
• [Presentation] 多変数拡大に対する岩澤加群の有限部分加群について (2021)
  • Author(s): 片岡武典
  • Organizer: 慶應代数セミナー
• [Presentation] Fitting ideals in two-variable equivariant Iwasawa theory and an application to CM elliptic curves (2021)
  • Author(s): 片岡武典
  • Organizer: 日本数学会 2021 年度年会
• [Presentation] Stark systems and equivariant main conjectures (2021)
  • Author(s): 片岡武典
  • Organizer: 日本数学会 2021 年度年会
• [Presentation] 総実体上のp分岐岩澤加群のFittingイデアル (2020)
  • Author(s): 片岡武典
  • Organizer: Friday Tea Time Zoom Seminar
  • Invited
• [Presentation] Higher codimension behavior in equivariant Iwasawa theory for CM-fields (2020)
  • Author(s): Takenori Kataoka
  • Organizer: KIAS number theory seminar
  • Invited
• [Presentation] Higher codimension behavior in equivariant Iwasawa theory for CM-fields (2020)
  • Author(s): 片岡武典
  • Organizer: 代数的整数論とその周辺 2020
• [Presentation] 楕円曲線の同変岩澤理論 (2019)
  • Author(s): 片岡武典
  • Organizer: 早稲田大学整数論セミナー
• [Presentation] 楕円曲線の同変岩澤理論 (2019)
  • Author(s): 片岡武典
  • Organizer: 第18回広島仙台整数論集会
• [Presentation] 楕円曲線の同変岩澤理論 (2019)
  • Author(s): 片岡武典
  • Organizer: 東京電機大学数学講演会
  • Invited
• [Presentation] Equivariant Iwasawa theory for elliptic curves (2019)
  • Author(s): Takenori Kataoka
  • Organizer: NCTS Seminar on Number Theory
  • Invited
• [Presentation] Equivariant Iwasawa theory and Euler systems (2019)
  • Author(s): Takenori Kataoka
  • Organizer: CMC special weeks on number theory
  • Int'l Joint Research / Invited