非線形分散型方程式におけるソリトンの数学解析とその応用
| Project/Area Number |
19J01504
|
|---|
| Research Category |
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
|
| Allocation Type | Single-year Grants |
|---|
| Section | 国内 |
|---|
| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
|
|---|
| Research Institution | Kyoto University |
|---|
Principal Investigator |
林 雅行 京都大学, 数理解析研究所, 特別研究員(PD)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2019-04-25 – 2022-03-31
|
| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2021)
|
| Budget Amount *help |
¥5,200,000 (Direct Cost: ¥4,000,000、Indirect Cost: ¥1,200,000)
Fiscal Year 2021: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000)
Fiscal Year 2020: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000)
Fiscal Year 2019: ¥1,820,000 (Direct Cost: ¥1,400,000、Indirect Cost: ¥420,000)
|
|---|
| Keywords | 非線形シュレディンガー方程式 / ソリトン / 孤立波 / 安定性 / 不安定性 / 特殊関数 / 進行波 / 質量臨界 / 変分法 / 強不安定性 |
|---|
| Outline of Research at the Start |
本研究の目的は非線形分散型方程式のソリトンを詳しく調べ、その種々の応用を考えることで、方程式の持つ深い数学的構造を捉えることである。ソリトンは線形項と非線形項からの双方の効果が反映されいている波であるため、それを詳しく解析することは非線形分散型方程式の解析において極めて重要である。本研究ではソリトンの変分的およびスペクトル的観点から方程式の構造を捉え、物理的に自然なエネルギー空間におけるダイナミクスの解明を目指す。方程式はソリトンの構造が豊かな微分型シュレディンガー方程式を中心に扱い、関連が深い他の分散型方程式に関しても、ソリトンの観点から研究を進めていく。
|
| Outline of Annual Research Achievements |
2021年度における主要な研究成果は次のものである．
(1) 二重冪相互作用を持つ非線形シュレディンガー方程式(NLS)における定在波の安定性／不安定性の研究を行った．二重冪NLSでは純冪のときと異なり，周波数によって安定性／不安定性が変化し得ることが知られている．本研究では，エネルギー劣臨界の枠組みで代数ソリトンが現れる斥力的-引力的の非線形相互作用の場合を考えた．この場合は周波数によって安定性／不安定性が変化するための最適な条件が知られていなかったが，1次元のときには最適な条件を完全に決定することができた．最適な条件の導出のためには，代数ソリトンの安定性／不安定性に関するある種の量を捉えることが鍵となり，計算過程でガンマ関数やベータ関数，超幾何級数などの特殊関数が自然に出てくることが分かった．安定性理論と特殊関数論の繋がりはそれ自身興味深いものであり，今後の発展が期待できる．
(2) 二次の非線形相互作用をもつNLSの連立系における進行波の研究を行った．質量共鳴条件が成り立つ場合はガリレイ不変性や擬共形不変性があり，定在波をガリレイ変換することで自然に進行波の族が得られる．ここでは質量共鳴条件が成り立たない場合に興味があり，この場合はガリレイ不変性などの対称性が崩れる場合に相当する．本研究では，変分法により基底状態解の存在を示し，二変数の進行波の族を構成した．進行波の族の中には代数ソリトンに相当するものが現れ，質量共鳴条件が成り立つ場合とは大きく状況が異なっていることが明らかになった．さらに進行波解の構成の応用として，大きな初期値に振動項を与えたデータに対する大域解の存在も証明した．どちらの成果も方程式の対称性が崩れることが本質的に効いており，方程式の対称性の崩れが解の性質に影響を与えている様相を観察できた点は意義深い．
|
| Research Progress Status |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
|
| Strategy for Future Research Activity |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
|
Report
(3 results)
Research Products
(21 results)
