非線形分散型方程式におけるソリトンの数学解析とその応用

• Project/Area Number: 19J01504
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 国内
• Review Section: Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 林 雅行 京都大学, 数理解析研究所, 特別研究員(PD)
• Project Period (FY): 2019-04-25 – 2022-03-31
• Project Status: Completed (Fiscal Year 2021)
• Budget Amount: ¥5,200,000 (Direct Cost: ¥4,000,000、Indirect Cost: ¥1,200,000); Fiscal Year 2021: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000); Fiscal Year 2020: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000); Fiscal Year 2019: ¥1,820,000 (Direct Cost: ¥1,400,000、Indirect Cost: ¥420,000)
• Keywords: 非線形シュレディンガー方程式 / ソリトン / 孤立波 / 安定性 / 不安定性 / 特殊関数 / 進行波 / 質量臨界 / 変分法 / 強不安定性

Outline of Research at the Start

本研究の目的は非線形分散型方程式のソリトンを詳しく調べ、その種々の応用を考えることで、方程式の持つ深い数学的構造を捉えることである。ソリトンは線形項と非線形項からの双方の効果が反映されいている波であるため、それを詳しく解析することは非線形分散型方程式の解析において極めて重要である。本研究ではソリトンの変分的およびスペクトル的観点から方程式の構造を捉え、物理的に自然なエネルギー空間におけるダイナミクスの解明を目指す。方程式はソリトンの構造が豊かな微分型シュレディンガー方程式を中心に扱い、関連が深い他の分散型方程式に関しても、ソリトンの観点から研究を進めていく。

Outline of Annual Research Achievements

2021年度における主要な研究成果は次のものである．
(1) 二重冪相互作用を持つ非線形シュレディンガー方程式(NLS)における定在波の安定性／不安定性の研究を行った．二重冪NLSでは純冪のときと異なり，周波数によって安定性／不安定性が変化し得ることが知られている．本研究では，エネルギー劣臨界の枠組みで代数ソリトンが現れる斥力的-引力的の非線形相互作用の場合を考えた．この場合は周波数によって安定性／不安定性が変化するための最適な条件が知られていなかったが，1次元のときには最適な条件を完全に決定することができた．最適な条件の導出のためには，代数ソリトンの安定性／不安定性に関するある種の量を捉えることが鍵となり，計算過程でガンマ関数やベータ関数，超幾何級数などの特殊関数が自然に出てくることが分かった．安定性理論と特殊関数論の繋がりはそれ自身興味深いものであり，今後の発展が期待できる．
(2) 二次の非線形相互作用をもつNLSの連立系における進行波の研究を行った．質量共鳴条件が成り立つ場合はガリレイ不変性や擬共形不変性があり，定在波をガリレイ変換することで自然に進行波の族が得られる．ここでは質量共鳴条件が成り立たない場合に興味があり，この場合はガリレイ不変性などの対称性が崩れる場合に相当する．本研究では，変分法により基底状態解の存在を示し，二変数の進行波の族を構成した．進行波の族の中には代数ソリトンに相当するものが現れ，質量共鳴条件が成り立つ場合とは大きく状況が異なっていることが明らかになった．さらに進行波解の構成の応用として，大きな初期値に振動項を与えたデータに対する大域解の存在も証明した．どちらの成果も方程式の対称性が崩れることが本質的に効いており，方程式の対称性の崩れが解の性質に影響を与えている様相を観察できた点は意義深い．

Research Progress Status

令和3年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

令和3年度が最終年度であるため、記入しない。

Research Products

• [Journal Article] Stability of algebraic solitons for nonlinear Schrodinger equations of derivative type: variational approach (2022)
  • Author(s): Masayuki Hayashi
  • Journal Title: Annales Henri Poincare Volume: -
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Instability of degenerate solitons for nonlinear Schrodinger equations with derivative (2022)
  • Author(s): Fukaya Noriyoshi, Hayashi Masayuki
  • Journal Title: Nonlinear Analysis Volume: -
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Potential well theory for the derivative nonlinear Schrodinger equation (2021)
  • Author(s): Hayashi Masayuki
  • Journal Title: Analysis & PDE Volume: 14 Issue: 3 Pages: 909-944
  • DOI: 10.2140/apde.2021.14.909
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Instability of algebraic standing waves for nonlinear Schroedinger equations with double power nonlinearities (2021)
  • Author(s): Fukaya Noriyoshi, Hayashi Masayuki
  • Journal Title: Transactions of the American Mathematical Society Volume: 374 Issue: 2 Pages: 1421-1447
  • DOI: 10.1090/tran/8269
  • Peer Reviewed
• [Journal Article] Long-period limit of exact periodic traveling wave solutions for the derivative nonlinear Schrodinger equation (2019)
  • Author(s): Masayuki Hayashi
  • Journal Title: Annales de l'Institut Henri Poincare C, Analyse non lineaire Volume: - Issue: 5 Pages: 1331-1360
  • DOI: 10.1016/j.anihpc.2018.12.003
  • Peer Reviewed
• [Presentation] Instability of degenerate solitons for nonlinear Schrodinger equations with derivative (2021)
  • Author(s): 林 雅行
  • Organizer: NLPDE one day セミナー (online)
  • Invited
• [Presentation] Instability of standing waves for a double power nonlinear Schrodinger equation (2021)
  • Author(s): 林 雅行
  • Organizer: 九州関数方程式セミナー (online)
  • Invited
• [Presentation] Instability of degenerate solitons for the nonlinear Schrodinger equation with derivative (2021)
  • Author(s): 林 雅行
  • Organizer: 熊本大学応用解析セミナー (online)
  • Invited
• [Presentation] Instability of degenerate solitons for nonlinear Schrodinger equations with derivative (2021)
  • Author(s): 林 雅行
  • Organizer: 大阪大学微分方程式セミナー
  • Invited
• [Presentation] Sharp thresholds for stability and instability of standing waves in a double power nonlinear Schrodinger equation (2021)
  • Author(s): 林 雅行
  • Organizer: 微分方程式の総合的研究 (online)
  • Invited
• [Presentation] Instability of degenerate solitons for nonlinear Schrodinger equations with derivative (2021)
  • Author(s): 林 雅行
  • Organizer: Nonlinear Wave Equations
  • Invited
• [Presentation] Instability of standing waves for a double power nonlinear Schrodinger equation (2020)
  • Author(s): 林 雅行
  • Organizer: Applied Analysis Seminar (online)
  • Invited
• [Presentation] Instability of algebraic standing waves for nonlinear Schroedinger equations with double power nonlinearities (2020)
  • Author(s): Masayuki Hayashi
  • Organizer: The 5th KTGU Mathematics Workshop for Young Researchers
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Potential well theory for nonlinear Schroedinger equations of derivative type (2019)
  • Author(s): 林 雅行
  • Organizer: 京都大学 NLPDE セミナー
  • Invited
• [Presentation] Potential well theory for the derivative nonlinear Schroedinger equation (2019)
  • Author(s): Masayuki Hayashi
  • Organizer: 2019 CAU-RIMS Joint Workshop on Nonlinear PDEs
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Potential well theory for the derivative nonlinear Schroedinger equation (2019)
  • Author(s): 林 雅行
  • Organizer: 広島大学数理解析セミナー
  • Invited
• [Presentation] Orbital stability of solitary waves for nonlinear Schroedinger equations of derivative type (2019)
  • Author(s): 林 雅行
  • Organizer: 第6回神楽坂非線形波動研究会
  • Invited
• [Presentation] Stability of solitary waves for nonlinear Schroedinger equations with derivative (2019)
  • Author(s): 林 雅行
  • Organizer: Applied Analysis Seminar
• [Presentation] Characterization of 4π-mass condition for the derivative nonlinear Schroedinger equation (2019)
  • Author(s): 林 雅行
  • Organizer: 日本数学会2019年度秋季総合分科会
• [Presentation] Variational approach to the derivative nonlinear Schroedinger equation (2019)
  • Author(s): 林 雅行
  • Organizer: Workshop on nonlinear wave equations and related topics in Kobe
  • Invited
• [Presentation] Characterization of 4π-mass condition for the derivative nonlinear Schroedinger equation (2019)
  • Author(s): Masayuki Hayashi
  • Organizer: Workshop on recent progress in nonlinear dispersive PDEs
  • Int'l Joint Research / Invited