The Absolute Grothendieck Conjecture and Related Topics
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19J10214
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| Research Category |
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Section | 国内 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
室谷 岳寛 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC2)
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| Project Period (FY) |
2019-04-25 – 2021-03-31
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| Project Status |
Completed (Fiscal Year 2020)
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| Budget Amount *help |
¥1,700,000 (Direct Cost: ¥1,700,000)
Fiscal Year 2020: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
Fiscal Year 2019: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
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| Keywords | 数論的基本群 / 絶対Galois群 / 遠アーベル幾何学 / 双曲的曲線 / 高次元局所体 / 完備離散付値体 / 分岐フィルトレーション / Kummer忠実体 / p進局所体 / モチーフ積分 / 弱ネロンモデル / 実閉体 |
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| Outline of Research at the Start |
数論的基本群は、代数多様体（多項式で定まる図形）の「幾何的な」情報と「数論的な」情報が絡み合ってできた、非常に興味深い対象である。数学者Grothendieckは、ある種の代数多様体は、その数論的基本群から「復元」されるであろうと予想した。この予想は既に肯定的に解決されたが、幾何的・数論的な情報の「絡み方」が分からない状態の数論的基本群（より制限された情報）から復元ができるかを問うのが「絶対版Grothendieck予想」である（一部を除き未解決）。本研究ではこの問題の当否を検証するとともに、既存の結果との比較により「どの情報が多様体を決定するのか」を浮き彫りにし、その哲学的な意味を探る。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、本研究課題の主な研究対象であるp進局所体上の双曲的曲線に対する絶対版Grothendieck予想に関連した問題として、次のような成果を得た：
1.高次元局所体の様々な不変量をその絶対Galois群から単遠アーベル的に復元し、ある条件下では体の同型類が絶対Galois群から復元されることを示した。さらに、混標数高次元局所体がKummer忠実であることを示した。この結果と星裕一郎氏による結果を組み合わせることで、混標数高次元局所体上のaffineな双曲的曲線に対する半絶対版Grothendieck予想型の結果が得られた。
2.剰余体が完全な混標数完備離散付値体の分岐フィルトレーション付き絶対Galois群から様々な不変量を単遠アーベル的に復元した。その結果として、ある特定の条件の下で、体の同型類が分岐フィルトレーション付き絶対Galois群及び剰余体の同型類から復元されることを示した。さらに、剰余体が完全な完備離散付値体の絶対Galois群の間の分岐フィルトレーションを保つ準同型についても研究し、その単射性に関するいくつかの結果を得た。その応用として、Victor Abrashkin氏による局所体の分岐フィルトレーション付き絶対Galois群に対するNeukirch-内田型定理の改良版や、望月新一氏によるp進局所体上の双曲的曲線に対する半絶対版Grothendieck予想に関する結果の一般化が得られた。
これら1.及び2.の成果をそれぞれ論文にまとめた（いずれも投稿中）。
また、これらの成果について、九州大学におけるオンライン研究集会で講演を行った。
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| Research Progress Status |
令和2年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和2年度が最終年度であるため、記入しない。
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Report
(2 results)
Research Products
(3 results)
