| Project/Area Number |
19J12344
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| Research Category |
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Section | 国内 |
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| Review Section |
Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
谷地村 敏明 東北大学, 情報科学研究科, 特別研究員(DC2)
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| Project Period (FY) |
2019-04-25 – 2021-03-31
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| Project Status |
Declined (Fiscal Year 2020)
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| Budget Amount *help |
¥1,700,000 (Direct Cost: ¥1,700,000)
Fiscal Year 2020: ¥800,000 (Direct Cost: ¥800,000)
Fiscal Year 2019: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
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| Keywords | 楕円型方程式 / 形状解析 / 固有値問題 / 形状最適化問題 / 逆問題 / コーティング問題 / 過剰決定問題 / 数値計算 |
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| Outline of Research at the Start |
複合媒質における特異摂動固有値問題に関連した最適コーティング形状の幾何学的な性質について研究を行う．特に薄膜コーティング問題において得られるロバン境界条件における固有値問題に対して，コーティング関数の積分量が制限される場合，ロバン第一固有値を最小化する最適なコーティング形状は何かという最適形状問題について考える．具体的には，領域が球の場合において対称性の破れが起こることが知られている閾値の決定や，そのときの最適コーティング形状の決定を行う．また，球の場合における知見を生かし， 一般の領域に関する最適コーティング形状に領域の対称性等の幾何学的性質がどのように遺伝するかについて明らかにする．
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度においては，コーティング問題に由来する形状最適化問題ならびに逆問題について考察し，最適コーティング形状の幾何学的な性質や構造を解析した．具体的には，以下の三つの問題について取り組んだ．
まず，ポアソン方程式に関する薄膜コーティング問題について考察した．特に最適コーティングが定数であるならば領域は球に限るかについて考察し，最適コーティングと方程式の解との関係式や部分積分等から本問題をSerrinの過剰決定問題に帰着させることで示した．この結果の対偶をとることにより，球でない場合，最適コーティングは定数ではないことがわかる．さらに，領域が球から摂動した際の最適コーティング形状の解析に取り組み，形状微分を用いることにより最適コーティング形状を同定した．
次にコーティング問題に由来するSerrin型優決定問題について考察した．本研究ではまず，陰関数定理と形状微分を用いて，自明解(同心球)近傍における二相Serrin型優決定問題の解の存在と一意性を証明した．さらに，Kohn-Vogelius汎関数とH^1勾配法を用いた数値計算を行った．さらに提案したアルゴリズムによる数値計算から，ある特別な場合において分岐現象が現れることが示唆されていた．この問題に関して分岐解析を行い，介在物が球であってもコーティング形状は一様とは限らないというある種の対称性の破れが起こることを示した．
さらに薄膜コーティング問題について，第一固有値と対応する第一固有関数の外部におけるノイマンデータが観測できたとき，内部のロバン係数(コーティング部分)が復元できるかというスペクトル逆問題について考察し，本逆問題に対する一意性及び局所リプシッツ安定性を示した．さらに，ノイマン追跡型汎関数に対するフレッシェ微分を求めることにより，勾配法に基づいた数値アルゴリズムを導出し数値計算を行った．
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| Research Progress Status |
翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
翌年度、交付申請を辞退するため、記入しない。
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