スーパー量子群がつなぐ2次元共形場理論と1次元ハバード模型
Project/Area Number |
19K03421
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Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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Allocation Type | Multi-year Fund |
Section | 一般 |
Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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Research Institution | University of Fukui (2020-2022) Nagoya University (2019) |
Principal Investigator |
松本 拓也 福井大学, 学術研究院工学系部門, 准教授 (50748803)
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Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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Budget Amount *help |
¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2019: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
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Keywords | リースーパー代数 / 量子群 / ヤンギアン代数 / Drinfeld実現 / 2次元共形場理論 / 拡大W代数 / 自由場表示 / ジャック多項式 / 2次元共形場理論 / 共形場理論 / 可積分系 / 対称多項式 |
Outline of Research at the Start |
量子群は、リー代数の普遍展開環の量子変形として、ドリンフェルトと神保により1985年に独立に導入された。リー代数をリースーパー代数に置き換えることによって「スーパー量子群」が定義される。申請者らは、量子可積分模型として重要な量子変形された「1次元ハバード模型」のスーパー量子群対称性を定義した。一方で、物理的背景から、1の冪根におけるこのスーパー量子群と2次元共形場理論との関係が興味深いが、このような観点による研究はほとんど行われていない。よって本研究では、1次元ハバード模型と2次元共形場理論を、それらに内在すると期待されるスーパー量子群の立場から、統一的に理解する事を目的とする。
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Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、中心拡大されたリースーパー代数sl(2|2)に付随した無限次元量子群であるヤンギアン代数を中心に研究を行った。この拡大されたsl(2|2)代数は、超弦理論におけるゲージ/重力対応や統計物理学における1次元ハバード模型の対称性として現れるなど、物理的にも重要な代数である。一方、数学的にもリースーパー代数sl(2|2)は、キリング形式が退化していること、また2次元の中心拡大を許す唯一の半単純リースーパー代数であることなど特殊な性質を有しており、一般論を素朴に適応できず、数学的に例外的な扱いが必要となる。 目標としては、拡大されたsl(2|2)代数に付随するヤンギアン代数の表現論を展開することである。一般に、ヤンギアン代数の表現を調べる上では、Drinfeld実現と呼ばれる定義関係式を用いることが適切である。しかしながら、Drinfeld実現では、量子群のHopf代数としての構造、特に余積の構造が明白でないという問題がある。 そこで、まずは明白な余積をもつDrinfeld実現を構成した。その結果は、論文"Drinfeld realization of the centrally extended psl(2|2) Yangian algebra with the manifest coproducts"[https://arxiv.org/abs/2208.11889]にまとめ、Journal of Mathematical Physics (JMP)に2022/09/07に投稿、 2023/04/07に受理された[J. Math. Phys. 64, 041704 (2023)]。
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は、sl(2|2)い関するヤンギアン代数の結果を論文にまとめることが出来た点において、研究を進展させることが出来た。この代数は、1次元ハバード模型の持つ無限次元対称性であり、今後、表現論を展開する上で重要なステップである。 一方で、2次元共形場理論との関連は、あまり進展がなかった。この点は、来年度以降の課題である。
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Strategy for Future Research Activity |
次は、論文[J. Math. Phys. 64, 041704 (2023)]で定義したヤンギアン代数のPBW型基底を決定し、表現論を展開することである。これは、統計物理における無限長の1次元ハバード模型や弦理論におけるゲージ/重力対応の数理的構造の解明に寄与することが期待される。 関連して、リースーパー代数のBGG型の分解は、通常のリー代数の研究に比べあまり調べられていない。リースーパー代数の表現を解析する上では、リー代数の場合のワイル群に代わる構造として、ワイル亜群が知られている。sl(2|2)やその他の低ランクのリースーパー代数に関して、ワイル亜群とBGG分解との関連を明らかにすることは、数学的に重要な問題と考えられる。これは、今後の課題であり、共同研究をとして進行中である。 並行して、ヴィラソロ代数の自由場表示を用いた2次元共形場理論の研究も行う予定である。
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Report
(4 results)
Research Products
(9 results)