無限アソシエーションスキームにおけるDelsarte理論の研究
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19K03445
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11010:Algebra-related
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| Research Institution | Aichi University of Education |
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Principal Investigator |
野崎 寛 愛知教育大学, 教育学部, 准教授 (80632778)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2022)
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| Budget Amount *help |
¥4,420,000 (Direct Cost: ¥3,400,000、Indirect Cost: ¥1,020,000)
Fiscal Year 2023: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2022: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2021: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2020: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2019: ¥780,000 (Direct Cost: ¥600,000、Indirect Cost: ¥180,000)
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| Keywords | 球面デザイン / 線形計画限界 / s-距離集合 / 代数体 / ルート格子 / 保型形式 / 正則一様ハイパーグラフ / グラフの固有値 / スペクトラルギャップ / 距離正則グラフ / アソシエーションスキーム / Delsarte理論 / デザイン / 符号 |
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| Outline of Research at the Start |
アソシエーションスキームに付随する Bose-Mesner代数の二つの基底 {A_i}, {E_i} の双対構造から得られる線形計画限界は，符号理論・デザイン理論において良い特徴づけを与えてきた（Delsarte理論）．重要なクラスにP多項式スキーム・Q多項式スキームがあり，それらの無限集合版であるランク1対称空間・無限距離正則グラフを，Bose-Mesner代数の生成元の個数の観点から一般化し，無限アソシエーションスキームを定義したい．無限アソシエーションスキーム上でDelsarte理論を確立し，より統一的な視点から符号理論・デザイン理論を再構築する．
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| Outline of Annual Research Achievements |
ユークリッド空間上の有限集合Xで互いに異なる２点間の距離の値が整数であり，素数pを法として，その距離の値の個数がsであるとき，元の個数|X|について，ある自然な上界(mod-p bound)が得られることが知られている[Blokhuis (1984)]. これを任意の代数体の整数環とその素イデアルに拡張することに成功した論文が，代数的組合せ論専門誌Algebraic Combinatoricsへの掲載が決定した。さらに，s=1のとき，先述の上界を達成する例が存在する次元の特徴づけに成功しており，これをまとめた論文も学術誌に投稿済みである。
球面をある意味でよく近似する集合としてspherical T-designという概念が知られている。線形計画限界と呼ばれる手法を適用することで，D_4ルート系からなる24点の球面上の集合が，極対的な{2,4,10}-designの元の個数の下界を達成することを示すことができた。さらに，その下界を達成する集合はD_4ルート系のみであることも示すことに成功した。この結果の応用として，D_4ルート格子の一般のshell(原点からの距離が等しい，D_4ルート格子の部分集合)が，D_4ルート系の直交変換たちで分割できることを示した。これは，平尾将剛氏（愛知県立大学），田坂浩二氏（愛知県立大学）との共同研究であり，さらにD_4ルート格子に関わる保形形式などの数論的対象についても調査中である。
昨年度から取り組んでいる，擬ユークリッド空間（pseudo-Euclidean space）上の距離集合の論文を完成させ，専門誌へ投稿できた。これは，篠原雅史氏（滋賀大学），須田庄氏（防衛大学校）との共同研究として得られた成果である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
mod-p boundを代数体の整数環に拡張した論文の雑誌Algebraic Combinatoricsへの掲載が決まったことや，D4ルート系のデザインとしての新たな一意性の結果を得たことなど，既存の理論の発展が期待できる研究成果が得られたため。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度から取り組んでいる，擬ユークリッド空間（pseudo-Euclidean space）上の距離集合の論文について，専門誌での出版を目指す。また，D_4ルート格子に関わる保型形式などの数論的対象について，平尾将剛氏（愛知県立大学），田坂浩二氏（愛知県立大学）との共同研究を進める。
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Report
(4 results)
Research Products
(30 results)
